Exercice sur les fonctions constantes

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

-Soit f une fonction continue sur R telle que :

j'essaye de montrer que f est nulle, mais finalement je suis bloqué. Je pensais passer par les suites, mais en vain.

-Soient g, et h deux fonctions de R dans R.
Si :
g tend vers 0 en
g + h est croissante
et h est T-périodique (T un réel)

Alors je dois prouver que h est constante, là aussi je bloque

Si quelqu'un peut m'indiquer des pistes svp

[mrif]

f est nulle pour tout x différent de 1/(k*pi), k appartenant à Z.
Comme elle est continue, il est facile de montrer qu'elle est nulle sur R*

[jonses]

f est nulle pour tout x différent de 1/(k*pi), k appartenant à Z.
Comme elle est continue, il est facile de montrer qu'elle est nulle sur R*

Je veux bien te croire, mais pour ma part, j'ai vraiment du mal avec les fonctions

[chan79]

f est nulle pour tout x différent de 1/(k*pi), k appartenant à Z.
Comme elle est continue, il est facile de montrer qu'elle est nulle sur R*

salut
comme elle est nulle sur R*, elle est même nulle sur R puisqu'elle est continue en 0.

[Rha]

-Tu as montré dans un autre topic qu'une fonction périodique qui possède une limite en + infini était constante, tu peux t'en servir ici.

On pose . est croissante. Quels comportements peut avoir une fonction croissante en + infini?

-Pour l'exo sur la continuité, tu dois connaître la définition par les suites et les limites qui permet de conclure rapidement.

[mrif]

Je veux bien te croire, mais pour ma part, j'ai vraiment du mal avec les fonctions

Supposons que f(1/(kpi) = a avec a non nul
f étant continue, que peux-tu dire de l'image reciproque d'un intervalle ouvert contenant a et ne contenant pas 0 ?

[jonses]

-Pour l'exo sur la continuité, tu dois connaître la définition par les suites et les limites qui permet de conclure rapidement.

Désolé, mais je ne vois pas comment conclure. Je dois introduire une suite de points de rationnels qui converge vers x (avec x un réel non nul quelconque) ?

[mrif]

Désolé, mais je ne vois pas comment conclure. Je dois introduire une suite de points de rationnels qui converge vers x (avec x un réel non nul quelconque) ?

Non on a pas besoin d'introduire une suite.

L'image réciproque de l'ouvert en question est un ouvert contenant 1/(kpi) donc il contient nécessairement un élément x0 qui n'est pas de la forme 1/(k'pi) donc f(x0) = 0, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

[jonses]

L'image réciproque de l'ouvert en question est un ouvert contenant 1/(kpi)

Je suis d'accord (déf de continuité)

donc il contient nécessairement un élément x0 qui n'est pas de la forme 1/(k'pi) donc f(x0) = 0, ce qui contredit l'hypothèse de départ

Est-ce que pour justifier cela, on peut dire qu'on dispose d'un rationnel dans cet intervalle ouvert (non vide car contient 1/kpi)

[mrif]

Je suis d'accord (déf de continuité)


Est-ce que pour justifier cela, on peut dire qu'on dispose d'un rationnel dans cet intervalle ouvert (non vide car contient 1/kpi)

Pourquoi tu veux qu'il soit rationnel?
Il suffit de dire que cet intervalle contient un nombre qui ne peut pas s'ecrire sous la forme 1/k'pi. Aide toi d'un dessin.
Par exemple pour k = 3 l'intervalle contenant 1/(3pi) est de la forme ]1/(3pi)-epsilon ; 1/(3pi)+epsilon[. Les éléments de la forme 1/(k'pi) les plus proches de 1/(3pi) sont 1/(4pi) et 1/(2pi)

[jonses]

Pourquoi tu veux qu'il soit rationnel?
Il suffit de dire que cet intervalle contient un nombre qui ne peut pas s'ecrire sous la forme 1/k'pi. Aide toi d'un dessin.
Par exemple pour k = 3 l'intervalle contenant 1/(3pi) est de la forme ]1/(3pi)-epsilon ; 1/(3pi)+epsilon[. Les éléments de la forme 1/(k'pi) les plus proches de 1/(3pi) sont 1/(4pi) et 1/(2pi)

Je disais rationnel comme ça, parce qu'un rationnel est clairement pas de la forme 1/kpi (qui est irrationnel). De toute manière dans un intervalle ouvert non vide de R, on peut en trouver un, vu que cet intervalle est voisinage de tous ses points, on peut trouver une petite boule centrée ouverte type ]a-epsilon,a+epsilon[ en un point a quelconque de l'intervalle, et entre deux réels, il y a toujours un rationnel (densité des rationnels dans R)

Merci en tout cas ! :lol3: