Exercice sur les espaces vectoriels

[stephsay]

Bonjour à tous,

Je me permets de vous solliciter car je suis bloquée à un exercice que je ne comprends pas bien.
Je remercie par avance les personnes qui auront pris le temps de me répondre.
Voici l'énoncé:
A) Démontrer que l'ensemble R[X] des polynômes à coefficients réels muni de l'addition usuelle des polynômes et de la multiplication scalaire lambda*[somme de i=0 allant à d de Pi*X^i] = somme de i=0 à d de lambda*Pi*X^i
est un espace vectoriel sur R.

Je sais qu'il y a quatre propriétés pour prouver qu'il s'agit d'un espace vectoriel néanmoins lorsque c'est sous cette forme de somme, je ne vois pas tellement comment m'y prendre.

[LB2]

Bonjour,

- quelles sont explicitement les propriétés à vérifier pour les éléments de R[X] ?
- comment s'écrit un élément de R[X]?

quand tu écris "somme des PiXi" , ce n'est vraiment pas très clair de savoir de quoi tu parles.

[stephsay]

Bonjour,

Les quatre propriétés sont :

Je viens de modifier mon premier commentaire suite à une petite erreur de rédaction "somme des Pi*X^i"

Merci de prendre du temps pour m'aider.

[LB2]

Ok, donc pour vérifier une par une les propriétés :

1) Si P et Q sont des polynômes, et lambda un réel, que vaut le polynôme lambda(P+Q) ? Que vaut lambdaP + lambdaQ ?

2) Si lambda et mu sont des réels, et P un polynôme, que vaut le polynôme (lambda+mu)P ? Que vaut lambda P + mu P ?
3) Si lambda est un réel, et mu un réel, et P un polynôme, que vaut le polynôme (lambda*mu) P ? Que vaut le polynôme lambda* (mu * P)
4) Enfin, que vaut l'élément neutre le la multplication sur R ? Conclusion ?

[stephsay]

Pour le 1 2 et 3, je ne vois pas tellement ce que je dois dire.
Pour le 4: L'élément neutre de la multiplication sur R est 1 : 1*u=u
Mais quelle valeur dois-je poser pour u ? u=(x;y) ?

[LB2]

u est un élément de E = R[X], c'est à dire un polynôme à coefficients réels.

Sais tu comment écrire un polynôme à coefficients réels?

[stephsay]

Oui, un polynôme à coefficients réels s'écrit
P= A0X^0+A1X^1+...+AnX^n
P= A0+A1X+...+AnX^n

Est-ce que je dois poser P= somme de i=0 allant à d de Pi*X^i
Q= somme de i=0 à d de lambda*Pi*X^i sous forme de coefficients réels
et Après calculer lambda*P et Q pour prouver l'égalité ?

Est-ce que je dois d'abord montrer que l'égalité est vraie ou je dois directement essayer de prouver que c'est un espace vectoriel ?

[LB2]

Ok, attention aux notations :

garde P= A0+A1X+...+AnX^n et Q = B0+B1X+...+BmX^m (m est pas forcément égal à n)

Pour vérifier la propriété 1), il s'agit de montrer que lambda*(P+Q) = lambda*P+lamda*Q