Exercice sur les distributions

[othmanB]

Montrer qu’il existe
telle que avec

[adrien69]

Salut.
Tu as une réponse [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_de_l'unité]ici[/url]
Mais je ne vois pas l'utilité d'utiliser les distributions...

[DamX]

Montrer qu’il existe
telle que avec

Bonjour,

Si l'exercice est de montrer l'existence par des méthodes "non constructives" du cours des distributions je suis hors-sujet. En revanche, il est possible de construire une fonction qui vérifie cette propriété .

Déjà la propriété se réduit à l'intervalle entre 0 et 1 (si elle est vraie là elle est vraie partout).

Ensuite construisons un premier point f(0) et forcément tous les f(k) qui vont avec vis-à-vis de la propriété. Il nous faut donc une série qui se somme à 1.

Par exemple la série des 1/2^n entre 0 et +inf qui se somme à 2. Pour n<0, on peut prendre la suite miroir f(n)=1/2^(-n), ce qui rajoute 1 à la somme totale qui fait 3. En divisant par 3 on a donc bien la propriété pour x=0 (et tous les x entiers). Je résume :



On a bien la sommation à 1. Il vaut mieux faire un dessin pour voir a quoi ça ressemble et pour la suite.

A présent, il faut "compléter" f en maintenant la propriété et en étant C infini !
On a naturellement construit notre série comme somme de deux séries, on va continuer avec ces deux là en les "pondérant".



Et


de cette manière la somme donne :



Que l'on contraint à valoir 1.

Donc

On a bien sur par construction de nos f(k) pour k entier.

Il faut donc à prèsent choisir correctement psi et phi. Pour illustrer si phi "augmente", psi doit diminuer "2 fois plus" pour que les sommes valent toujours 1, c'est logique.

Quelles sont les contraintes ?

Déjà, on veut être continu, donc
donc phi(1)=1/2.

Egalement, en 0, on veut
donc psi(1)=2, ce qui est cohérent avec la relation psi(x)+2phi(x)=3

Les autres continuités aux points entier sont répercutées de fait des lors qu'on a ces deux là.

Mais on veut être C infini. Donc il faut que phi le soit (et donc psi l'est) et il faut que les raccordements de f aux points entiers le soient aussi.

Comme on est libre, la manière la plus simple est probablement d'imposer toutes les dérivées n-ieme nulles en tous les points de raccordement, ie en fait avoir phi C-infini sur [0,1], phi(0)=1, phi(1)=1/2, et toutes les dérivées de phi sont nulles en 0 et en 1. (psi suit naturellement par la relation qui le lie à phi).

en fait on pourrait s'arrêter là, il existe forcement une fonction qui vérifie ça, ce qui prouve l'existence de f. Ou on peut aussi exhiber phi.. !

Là c'est laisser cours à la créativité.. Tant qu'elle vérifie les conditions spécifiées ci-dessus (les contraintes de dérivées nulle en deux points sont un peu p***-c******)

En voici une qui fonctionne, il y en a surement plein d'autres, peut être plus simple que celle-ci :



Qui vérifie toutes les conditions voulues.

Voilà. f est entièrement construite, est bien C-infinie par raccordements de fonctions C-infinie, et vérifie la propriété de sommation en tout point. Donc oui, une telle f existe .

on peut tracer la fonction f sous excel ou autre pour voir quelle est plutôt stylée en plus (paire, en forme de pyramide inca aux angles arrondis).

J'espère avoir été compréhensible, il faut vraiment suivre avec un dessin du graphe au fur et à mesure pour voir le cheminement.

Damien

[adrien69]

:doh:
En voilà une réponse qu'elle est complète !

[DamX]

:doh:
En voilà une réponse qu'elle est complète !

Ahah oui, je ne voyais pas comment guider sur les pistes de mon truc tordu autrement qu'en balançant tout sur ce coup là... Déjà que ce n'est pas très compréhensible en écrivant tout !

Par contre tu es sur que ça s'applique ici les partitions de l'unité ? Je vois bien la similarité mais on somme une famille de fonctions toutes C-infini et je ne vois pas comment retomber sur une seule fonction qui vérifie les propriétés demandées dans cet exercice.

Damien

[adrien69]

En fait regarde tout en bas de l'article de wikipedia, dans la rubrique "exemple de partition de l'axe réel" (ou un truc du genre), ils donnent d'abord un truc continu (avec des cos qui s'annulent de façon non dérivable où on veut) puis un machin infiniment dérivable (en prenant les trucs habituels d'approximations de l'unité, version probabiliste, avec les gaussiennes j'entends).
Et comme je n'aime pas recopier le travail d'autres bah j'avais juste donné le lien.

[DamX]

En fait regarde tout en bas de l'article de wikipedia, dans la rubrique "exemple de partition de l'axe réel" (ou un truc du genre), ils donnent d'abord un truc continu (avec des cos qui s'annulent de façon non dérivable où on veut) puis un machin infiniment dérivable (en prenant les trucs habituels d'approximations de l'unité, version probabiliste, avec les gaussiennes j'entends).
Et comme je n'aime pas recopier le travail d'autres bah j'avais juste donné le lien.

Oui j'ai bien vu, mais justement l'exemple exhibe une famille de fonctions C-infinies qui se somment à 1, ce qui n'est pas le problème demandé ici et je ne vois pas comment on pourrait passer facilement d'une famille de ce type à une fonction verifiant les donnees du problème, c'est pour cela que je demandais.

[adrien69]

Regarde bien la famille qu'ils considèrent, ils partent d'une unique fonction qui ensuite est translatée discrètement sur l'axe réel pour te donner ta famille. C'est, si je ne me plante pas, exactement ce qu'on voulait.

[adrien69]

Ce qui n'empêche pas ton résultat d'être meilleur que celui-là (car moins deus ex machina)

[DamX]

Regarde bien la famille qu'ils considèrent, ils partent d'une unique fonction qui ensuite est translatée discrètement sur l'axe réel pour te donner ta famille. C'est, si je ne me plante pas, exactement ce qu'on voulait.

Ah oui en utilisant directement une fonction de la famille ça marche :mur: au temps pour moi.

[adrien69]

Ne te flagelle pas mon grand, franchement ta solution est meilleure :++: