Exercice sur les Applications

[Edison11]

Bonsoir j'aurai besoin d'aide pour un exercice :

Soit d : ℕ ---> ℕ l'application double et m : ℕ ---> ℕ (division entière) l'application
n ---> n/2
moitié. Sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Mêmes questions pour d o m et m o d.

Ce que j'ai répondu :

1. L'application d est injective car tous les éléments de l'ensemble d'arrivé ont au plus un antécédent. Mathématiquement parlant cela signifie que :

∀n, n'∈ℕ d(n)=d(n') ==> 2n = 2n'

<=> ∀n∈ℕ, d(n)=2n

(La justification est-elle bonne ?)

2. Concernant m (ce n'est pas une application si ?) car tous les éléments de l'ensemble de départ n'ont pas forcément d'image...

Concernant d o m :

Ddom = {n∈Dm / m(n)∈Dd} = {n∈N / m(n)∈N)

D'ou on a d o m : N ---> N
n ---> 2(n/2) <=> n

Ca correspond à l'application identité qui est bijective

3. Maintenant pour pour m o d :


Dmod = {n∈Dd / d(n)∈Dm} = {n∈N / d(n)∈Dm}

d'ou on a m o d : N ----> N
n -----> (2n)/2 <=> n

Là encore on a à faire a l'application identité qui est bijective.

Les réponses sont-elles correctes ? Les justifications sont-elles bonnes ? Merci d'avance!

[vejitoblue]

bah c'est flou la définition de cette application m, si j'ai bien compris m(n) c'est le quotient de la division euclidienne de n par 2;
quand n est impair, il est sous forme n=2k+1 avec k entier et m(n)=k.

mais sinon ton 1) (injectivité) est pas très juste ce qu'on cherche c'est si quand d(n)=d(p) alors on a n=p, tu tournes un peu en rond, ta conclusion c'est la définition de d

[Edison11]

Dans ce cas comment le montrer ??

[vejitoblue]

2n=2p=>n=p on a injection
pour la surjection (pour tout n dans N il existe p dans N tel que d(p)=n = 2p), qu'est ce qui se passe quand n est impair?
fais une patate avec les six premiers entiers (voir meme moins une patate avec 0 et 1 suffit)