Exercice sur Infimum
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
par ichigokurosaki14 » 13 Jan 2018, 18:42
Bonjour, je suis en train de me préparer pour un examen d'analyse mathématique et je n'arrive pas à trouver une solution à un exercice. C'est pourquoi j'aurai besoin d'un coup de pouce
Voici l'énoncé :
On considère l’ensemble A := {x | e^x +x > 0} et on pose a := inf A.
Soit x0 ∈ R.
On considère la suite (xn)n∈N définie par la récurrence :
x(n+1) = ϕ(xn) où ϕ(x) := (e^x . (x-1))/ (e^x +1)
Prouvez que ϕ(a) = a.
Merci d'avance pour vos réponses !
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vejitoblue
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par vejitoblue » 13 Jan 2018, 19:07
salut!
si (xn) converge alors c'est vers un point fixe de f
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Elias
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par Elias » 13 Jan 2018, 19:19
Salut,
c'est quoi a ? La limite de (xn) ?
As tu montré que cette suite converge ? Est-ce le cas ? Est-ce le cas pour tout x0 ?
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
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aviateur
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par aviateur » 13 Jan 2018, 20:19
Vas y @ichigokurosaki14, c'est du classique ! Il y a plusieurs étapes
1. tu peux commencer par étudier les variations de f et représenter la courbe représentative de ainsi que la droite y=x.
par ichigokurosaki14 » 13 Jan 2018, 21:40
Oups j'ai oublié une partie de l'énoncé c'est corrigé désolé
1) on n'a pas vu ce qu'était un point fixe donc je pense qu'on ne peut pas utiliser ce point de théorie.
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Elias
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par Elias » 14 Jan 2018, 16:23
Salut,
Du coup, la suite xn n'intervient pas dans la réponse à la question.
La fonction x -> exp(x)+x est strictement croissante sur R (dérive simplement), continue et vu ses limites en -oo et +oo, on peut dire avec le TVI qu'il existe un unique b réel tel que exp(b)+b=0.
Tu peux démontrer facilement que le a tel que tu le défini (a = inf {x réel, exp(x)+x>0} est égal à b, c'est à dire: exp(a)+a=0 ou encore exp(a)= -a.
Maintenant, si tu veux calculer phi(a), déjà tu peux car a n'est pas égal à 1 (puisque e est différent de -1) et ça fait :
[exp(a)(a-1) ] / [exp(a)+1]
En remplaçant exp(a) par -a et en factorissant comme il faut, tu obtiens bien phi(a)=a
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
par ichigokurosaki14 » 15 Jan 2018, 13:32
Merci beaucoup Trident2 pour la résolution de cette exercice !
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aviateur
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par aviateur » 15 Jan 2018, 13:45
Alors??? la suite (x_n) faisait partie de l'énoncé ou pas?
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Elias
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par Elias » 15 Jan 2018, 14:16
Je pense qu'elle fait partie de l'énoncé et qu'il y a des questions après qui sont en rapport avec cette suite.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
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