Exercice sur le dual

par **thesuperdede** » 17 Nov 2006, 12:12

bonjour à tous.
voilà j'ai un exercice sur le dual d'un espace vectoriel à préparer pour lundi et je ne sais pas comment l'aborder. pourriez vous me donner des pistes svp :
voici l'énoncé :
Soit V un espace vetoriel de dimension finie. on suppose que v appartenant à V vérifie f(v)=0, pour tout f appartenant à V*.
Montrer que v=0..
merci d'avance pour votre aide.

par **tize** » 17 Nov 2006, 12:17

Bonjour,
Si

alors tu peux compléter v en une base

de V et ensuite choisir la forme linéaire définie par

pour

. On alors

par unicité de la décomposition dans une base, d'ou contradiction et donc

par **maturin** » 17 Nov 2006, 12:26

sinon tu dis que la fonction identité appartient au dual.
Donc f(v)=v=0.

par **tize** » 17 Nov 2006, 12:29

maturin a écrit:sinon tu dis que la fonction identité appartient au dual.
Donc f(v)=v=0.

Attention ! La fonction identité n'appartient pas au dual, c'est un endomorphisme ! Le dual de V c'est l'ensemble des applications linéaires de V dans

par **yos** » 17 Nov 2006, 12:34

thesuperdede a écrit:Soit V un espace vetoriel de dimension finie. on suppose que v appartenant à V vérifie f(v)=0, pour tout f appartenant à V*.
Montrer que v=0..

Ca veut dire que v est dans tous les hyperplans de V (car chaque hyperplan est le noyau d'une f.l.) .
C'est juste pour donner une vision géométrique de la question. Sinon c'est l'argument de Tize qu'il faut retenir.

par **thesuperdede** » 17 Nov 2006, 12:38

tize a écrit:Bonjour,
Si alors tu peux compléter v en une base de V et ensuite choisir la forme linéaire définie par pour . On alors par unicité de la décomposition dans une base, d'ou contradiction et donc

merci beaucoup de bien vouloir m'aider.
j'ai compris la fin de ta démonstration. en revanche pourrais-tu m'expliquer pourquoi Si

alors tu peux compléter v en une base

de V.
merci

par **tize** » 17 Nov 2006, 13:16

thesuperdede a écrit:merci beaucoup de bien vouloir m'aider.
j'ai compris la fin de ta démonstration. en revanche pourrais-tu m'expliquer pourquoi Si alors tu peux compléter v en une base de V.
merci

Pour mémoire, il s'agit du théorème de la base incomplète que tu dois avoir dans ton cours...sinon ici
Essaye aussi de comprendre l'argument géométrique de Yos, il est intéressant pour bien comprendre ce que cela signifie...

par **maturin** » 17 Nov 2006, 14:41

bon c'est ma deuxième erreur de la journée, on va se reconcentrer sur les calculs bourrins

bon sinon on prend la fonction f(v)=|v|, ça marche ? ou alors faut que j'aille direct rechercher tous mes vieux classeurs de prepa.

par **yos** » 17 Nov 2006, 14:42

Maturin : la norme est pas linéaire.

par **maturin** » 17 Nov 2006, 16:31

bon ben c'est donc la troisième connerie du jour. Je vais arrêter de répondre sur des questions dont j'ai oublié la définition d'un mot.

Exercice sur le dual

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