Exercice sur determinants assez difficile

[Azuriel]

Voila je n'arrive pas à faire cet exo :
Soit A = (a i,j) appartenant Mn(R), Montrer l'inégalité :

|detA|<=Produit(i=1 à n) * Sum(j=1 à n) |a i,j|

Peut etre une indication de methode, on peut peut ere utilisé les permutations.

Merci d'avance de m'aider.

[Joker62]

Certainement une récurrence non ?

[Bouchra]

On peut utiliser la déf du déterminant avec les les permutations.






Et est exactement

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sauf erreur

[Azuriel]

Oui merci je crois que c'est cela aussi.

Tant qu'on y est dans un de mes exo où je cherche à demontrer une formule et à la 3eme question on me demande :

Si rgA=n-1 (A € Mn(K)), montrer que com(A) est de rang 1..J'essaye de developper par rapport a une colonne..mais ça marche pas, car apres j'ai pas forcement les meme lambda i pour montrer que par ex ds la comatrice on a Ci = lambda i Cf (colonne reference, tte les colonnes s'ecrivent comme une CL de Cf)..alors ?

[fahr451]

bonsoir
(tcomA) A = det A In = 0 dans le cas où A est de rang n-1 < n

donc Im A C ker t com A donc t com A de rang inférieur ou égal à 1 et idem pour com A
(aucun mérite pour moi rain je l 'ai fait y a moins d'un demi siècle )

[Azuriel]

Merci beaucoup ! Fahr m'impresionnera toujours, meme pas que dans le sens où il sait a peu pres tout mais aussi dans le sens où il est omnipresent. Merci de ton aide active ! Merci Rain également !

[fahr451]

merci azuriel
mais il y a beaucoup de choses hélas en maths qui me dépassent

j'ai eu un ordinateur et une connexion pour noël et j'en abuse tant qu'il en est encore temps

[Azuriel]

Juste une petite modification apparament il doit y avoir un moyen de montré que c'est EGAL a 1 et pas inferieur ou egal...en gros que le rang ne peut etre nulle..Je pense qu'en utilisant l'égalité tcomA A = A tcomA sa devrait marché comme ça on aurait linclusion reciproque.

EDIT : AH non en fait ça me donne la meme inegalité..je vois pas comment obtenir celle dans l'autre sens..

EDIT 2 : est ce que l'on peut dire que comme rgA = n-1, la comatrice posséde au moins un terme non nul et dc n peut etre de rg = 0 ??

[Azuriel]

Oula désolé je me souvenais plus que tu me l'avais ecrite, mais ça revient à ce que j'avais fait donc c'est cool. Merci et désolé de mon etourderi j'avais pas penser à revoir les messages que l'on avait posté précedemment.

[fahr451]

oui théorème de rouché fontenay

A est de rang p ssi il existe une sous matrice de taille p inversible dont toutes les bordantes sont non inversibles
qu 'on utilise de façon partielle