Alors voila : on considère une série de terme général
U_n(x) = n^(alpha) * exp(-nx²)
Dans la suite je note R l'ensemble des nombres réels.
Soit A>0 on note R(A) l'ensemble des réels privée de ]-A,A[
On munit les espace L(infini)(R), L(infini)(R(A)) de la norme infinie (sup sur x).
On munit l'espace L(p) de la norme p (intégrale du module puissance p, le tout à la puissance 1/p)
La question est : pour chacun de ces espaces vectoriels normés, pour quelle valeur de alpha a t-on convergence normale de la série de terme général Un_(x) ?
Voilà ce que j'ai déjà fait :
1) Sur L(infini)(R) j'ai montré que le sup (pour x dans R) des Un_(x) = n^(alpha). Autrement dit on a que la norme infini de de Un_(x) sur R est n^(alpha).
On a donc convergence normale ssi alpha < -1.
2) Ensuite pour la convergence normale dans L(p)(R) j'ai calculé la norme p de Un_(x).
C'est simplement l'intégrale du module de U_n(x) à la puissance p.
L'exercice donne comme aide que l'intégrale sur R des exp(-n*p*x²) est égale à une constante (ne dépendant pas de n) divisée par sqrt(n). Ainsi j'ai montré simplement qu'on avait convergence normale sur L(p)(R) pour alpha < -1/2p.
J'ai donc deux soucis :
1) Pourquoi quand je fais tendre p vers l'infini je ne retrouve pas la condition sur alpha pour L(infini) (alpha < -1) ?
2) Pour ce qui est de la convergence sur R(A) = R / ]-A,A[ je ne vois pas comment faire. En effet je ne comprend pas comment déterminer la norme infini des Un_(x) pour x appartenant à R(A).
Si vous aviez un petit moment pour me donner un petit coup de pouce se serait très gentil à vous
Dans tout les cas je vous remercie d'avance
Amicalement !
J_psi_1