Exercice sur barycentre

[joquetino]

Bonsoir à tous,

En reprenant un exercice sur les barycentres, j'aimerais avoir votre avis sur ma résolution.
L'exercice nous donne 4 points A, B, C et D distincts du plan. Soit K le barycentre de (A,3) et (B,1). Soit J le milieu de [CD]. Soit G le centre de gravité du triangle BCD. Soit I le milieu de [AG]. Les points I, J et K sont-ils alignés ?

Dans un premier, je traduis l'énoncé par les 4 barycentres associés.
K = bar((A,3),(B,1))
J = bar((C,1),(D,1)
G=bar((B,1),(C,1),(D,1))
I=bar((A,1),(G,1))

On peut montrer que I est un barycentre de (J,j) et (K,k). On va utiliser l'homogénéité des barycentres.

On part de I=bar((A,1),(G,1))
On multiplie les poids par 3.
On a : I = bar((A,3),(G,3))

On remplace (G,3) par (B,1),(C,1),(D,1)
On a :
I = bar ((A,3),(B,1),(C,1),(D,1))
I = bar((K,2),(J,2)

I est donc un barycentre pour (K,2) et (J,2).
Les 3 points sont donc alignés.

Cela vous semble cohérent ? A vrai, j'ai un doute quand je remplace G par B, C et D.
Merci

[GaBuZoMeu]

I = bar ((A,3),(B,1),(C,1),(D,1))
I = bar((K,2),(J,2)

Ce dernier passage ne va pas. Fais plus attention aux poids.

[joquetino]

Oups c’est une erreur de frappe, je voulais mettre I=bar((K,4),(J,2))

Sinon tout semble ok ?

[GaBuZoMeu]

Ça va mieux comme ça.

[joquetino]

Ok merci

[joquetino]

Bonjour,

Plutôt que d'ouvrir un nouveau sujet, je me permet de mettre ici un autre exercice.
J'ai fait le petit 1 de l'exo, je pèche sur le petit 2, si vous avez une piste, je suis preneur.

L'énoncé est le suivant :
Soient P, Q et R trois points non alignés. P' est le milieu de [QR], S le milieu de [PP'] et T est le point d'intersection de (PQ) et (RS).

1- Montrer que S est le barycentre de (P,2) (Q,1) et (R,1)
2 - En déduire que T est le barycentre de (P,2) et (Q,1)


Voici ce que j'ai fait :
1- P' = bar((Q,1),(R,1))
S=bar((P,1),(P',1)
Par l'homogénéité des barycentres, S peut s'écrire : S = bar((P,2),(P',2))
Par l'associativité des barycentres : S peut s'écrire : S = bar((P,2),(Q,1),(R,1))

2 - pour le 2, je pèche, je ne sais pas comment faire intervenir T dans les calculs. Auriez-vous une piste ?

merci bcp.

[GaBuZoMeu]

T est à la fois barycentre de P et Q (avec les poids convenables) et de R et S (avec les poids convenables). Utiliser le fait que les coordonnées barycentriques de T par rapport à P,Q,R sont uniques, à un facteur près.

[joquetino]

Je pense avoir trouvé une solution, je ne sais pas si cela utilise ce que vous proposez.

On a :
S = bar((P,2),(Q,1),(R,1))

Supposons G tel que :
G = bar((P,2),(Q,1))
Donc G appartient à la droite (PQ)

Par l'associativité, on a :
S = bar((G,3),(R,1))
Donc G appartient à la droite (RS)

Si G est donc l'intersection entre la droite (RS) et la droite (PQ).
D'après l'énoncé, ce point est donc le point T.

Et on a T = bar((P,2),(Q,1))


Cela conviendrait ?

Merci.

[GaBuZoMeu]

Tu pars du résultat donné pour faire ta démonstration. La démarche que je propose n'utilise pas la connaissance du résultat pour le démontrer. Ça me semble plus sain.

[joquetino]

C’est possible d’en savoir plus sur votre démonstration ? J’ai du mal à voir comment vous la faites ?

Merci.

[GaBuZoMeu]

T est barycentre de (P,p) et (Q,q) (avec p+q=1), et aussi barycentre de (R,r) et (S,s) (avec r+s=1). On sait que S est barycentre de (P,1/2), (Q,1/4), (R,1/4). Donc T est barycentre de (P,s/2), (Q,s/4) et (R,r+s/4).
On identifie les coordonnées barycentriques normalisées (p,q,0) et (s/2,s/4,r+s/4) par rapport à P,Q,R. Ça donne s=-4r, p=-2r, q=-r avec r=-1/3 puisque r+s=1.
Donc T est barycentre de (P,2/3) et (Q,1/3) et aussi de (R,-1/3) et (S,4/3).

[joquetino]

Bonsoir,

Merci pour votre retour.
Pardon si la question est idiote mais qu'est ce qui permet de passer de :

On sait que S est barycentre de (P,1/2), (Q,1/4), (R,1/4).

A

Donc T est barycentre de (P,s/2), (Q,s/4) et (R,r+s/4).

Pourquoi on affecte le poids s/2 à P ?

Merci

[GaBuZoMeu]

C'est l'associativité des barycentres, qui s'écrit facilement quand la somme des poids vaut 1 :

T = rR+sS= rR+s((1/2)P+(1/4)Q+(1/4)R)=(s/2)P+(s/4)Q+(r+s/4)R

[joquetino]

Super merci bcp pour ces explications. Le retour sur les barycentres 15 ans après nécessitent quelques révisions. Merci.

[GaBuZoMeu]

Et si ce n'est pas indiscret, qu'est-ce qui te fait revisiter les barycentres après tant de temps ?

[joquetino]

Je me suis re inscrit à la fac en math, je revois le programme de lycée quand je peux. Je suis en reconversion.

[GaBuZoMeu]

OK, merci.