Exercice sur l'anneau des polynômes
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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stephsay
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par stephsay » 15 Jan 2020, 18:54
Bonjour à tous,
Je me permets de vous écrire au sujet d'un exercice de maths que j'ai eu en partiel, j'ai décidé de le refaire néanmoins il y a une partie (à partir de la question 3) que je ne comprends pas.. Egalement pour les questions précédentes, pouvez-vous me dire si mes justifications sont correctes et bien rédigées ?
Soit dans R, la loi de composition interne définie par:
* : RxR -> R
(a,b) -> a*b=a+b+ab
1) Montrer que * est associative dans R
* est associative dans R car pour tout a,b,c appartenant à R: (a*b)*c=a*(b*c)
2)Montrer que R-{-1} est un groupe commutatif pour la loi *
R-{-1} est un groupe commutatif pour la loi * car:
- pour tout a,b,c appartenant à R-{-1}, on a (a*b)*c=a*(b*c)
* est associative dans R-{-1}
- * admet 1 comme élément neutre dans R-{-1}
- tout élément de R-{-1} admet un symétrique pour * dans R-{-1} tel que pour tout a appartenant à R-{-1} il existe un b appartenant à R-{-1} avec a*b=b*a=1 avec b=1/a avec a différent de zéro
- pour tout a,b appartenant à R-{-1}, a*b=b*a
R-{-1} est un groupe commutatif
3)On note a^(n)=a*a*a...*a=a*a^(n-1)
Calculer a^(2) et a^(3) en faisant apparaître une identité remarquable. En déduire l'expression de a^(n).
On démontera celle-ci à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
Je n'ai pas trouvé une formule qui fasse apparaître l'identité remarquable.
Je sais faire un raisonnement par récurrence mais pareil je ne vois pas quoi faire
4)Vérifier que a^(n)*a^(m)=a^(n+m)
Il faut juste que j'énonce les propriétés des puissances?
Merci à toutes les personnes par avance qui auront pris le temps de m'aider
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 15 Jan 2020, 19:08
Le secret de fabrication de cet exercice : on considère la bijection
Alors
est un isomorphisme de
sur
. En effet,
.
Une fois ceci vu, tout s'éclaire.
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mathelot
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par mathelot » 15 Jan 2020, 19:30
Modifié en dernier par
mathelot le 15 Jan 2020, 20:52, modifié 4 fois.
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mathelot
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par mathelot » 15 Jan 2020, 19:35
stephsay a écrit:- * admet 1 comme élément neutre dans R-{-1} non
- tout élément de R-{-1} admet un symétrique pour * dans R-{-1} tel que pour tout a appartenant à R-{-1} il existe un b appartenant à R-{-1} avec a*b=b*a=1 avec b=1/a avec a différent de zéro non
[/color]
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Carpate
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par Carpate » 15 Jan 2020, 19:52
Modifié en dernier par
Carpate le 15 Jan 2020, 20:28, modifié 8 fois.
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tournesol
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par tournesol » 15 Jan 2020, 20:15
avec l'isomorphisme
débusqué par GaBuZoMeu
a^(n)=
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stephsay
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par stephsay » 15 Jan 2020, 20:27
Merci pour votre réactivité et vos réponses !
J'ai moyennement compris le commentaire de GaBuZoMeu, j'y vois un peu plus clair avec le commentaire laissé par Tournesol mais ça reste assez flou pour moi
J'ai bien compris le commentaire de Mathelot.
Je n'ai pas compris dans le commentaire de Carpate pourquoi a²=a²+2a ?
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Carpate
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par Carpate » 15 Jan 2020, 20:33
Si
, alors
c'est du niveau Collège ...
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stephsay
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par stephsay » 15 Jan 2020, 20:45
Ahh oui, désolée, j'oublie que dans cet exercice a*b=a+b+2a
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mathelot
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par mathelot » 15 Jan 2020, 20:55
stephsay a écrit:Ahh oui, désolée, j'oublie que dans cet exercice a*b=a+b+2a
je développe l'égalité de GBZM-Tournesol en notant
la puissance de a par la loi *:
car
et
sont des bijections réciproques
car
est un morphisme
car
car
stephsay a écrit:J'ai moyennement compris le commentaire de GaBuZoMeu
GaBuZoMeu a écrit:on considère la bijection
Alors
est un isomorphisme de
sur
. En effet,
.
En effet,
Modifié en dernier par
mathelot le 15 Jan 2020, 21:11, modifié 5 fois.
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stephsay
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par stephsay » 15 Jan 2020, 20:59
Oui ! Absolument ! Désolée
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stephsay
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par stephsay » 15 Jan 2020, 21:19
D'accord, merci à tous d'avoir répondu ! J'ai compris.
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