Exercice sur l'anneau des polynômes

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stephsay
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Exercice sur l'anneau des polynômes

par stephsay » 15 Jan 2020, 18:54

Bonjour à tous,

Je me permets de vous écrire au sujet d'un exercice de maths que j'ai eu en partiel, j'ai décidé de le refaire néanmoins il y a une partie (à partir de la question 3) que je ne comprends pas.. Egalement pour les questions précédentes, pouvez-vous me dire si mes justifications sont correctes et bien rédigées ?

Soit dans R, la loi de composition interne définie par:
* : RxR -> R
(a,b) -> a*b=a+b+ab

1) Montrer que * est associative dans R
* est associative dans R car pour tout a,b,c appartenant à R: (a*b)*c=a*(b*c)


2)Montrer que R-{-1} est un groupe commutatif pour la loi *
R-{-1} est un groupe commutatif pour la loi * car:
- pour tout a,b,c appartenant à R-{-1}, on a (a*b)*c=a*(b*c)
* est associative dans R-{-1}
- * admet 1 comme élément neutre dans R-{-1}
- tout élément de R-{-1} admet un symétrique pour * dans R-{-1} tel que pour tout a appartenant à R-{-1} il existe un b appartenant à R-{-1} avec a*b=b*a=1 avec b=1/a avec a différent de zéro
- pour tout a,b appartenant à R-{-1}, a*b=b*a
R-{-1} est un groupe commutatif


3)On note a^(n)=a*a*a...*a=a*a^(n-1)
Calculer a^(2) et a^(3) en faisant apparaître une identité remarquable. En déduire l'expression de a^(n).
On démontera celle-ci à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
Je n'ai pas trouvé une formule qui fasse apparaître l'identité remarquable.
Je sais faire un raisonnement par récurrence mais pareil je ne vois pas quoi faire


4)Vérifier que a^(n)*a^(m)=a^(n+m)
Il faut juste que j'énonce les propriétés des puissances?

Merci à toutes les personnes par avance qui auront pris le temps de m'aider



GaBuZoMeu
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par GaBuZoMeu » 15 Jan 2020, 19:08

Le secret de fabrication de cet exercice : on considère la bijection



Alors est un isomorphisme de sur . En effet, .

Une fois ceci vu, tout s'éclaire.

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mathelot
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par mathelot » 15 Jan 2020, 19:30

bonsoir,


* est associative
0 est élément neutre
Preuve: soit e un élément neutre:




Réciproquement 0 est élément neutre de (R;*)

on note les puissance de a pour la loi *

Recherchons






Modifié en dernier par mathelot le 15 Jan 2020, 20:52, modifié 4 fois.

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mathelot
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par mathelot » 15 Jan 2020, 19:35

stephsay a écrit:- * admet 1 comme élément neutre dans R-{-1} non
- tout élément de R-{-1} admet un symétrique pour * dans R-{-1} tel que pour tout a appartenant à R-{-1} il existe un b appartenant à R-{-1} avec a*b=b*a=1 avec b=1/a avec a différent de zéro non
[/color]


Carpate
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par Carpate » 15 Jan 2020, 19:52




Pour l'hérédité :
Supposons l'expression vraie au rang n :

: Expression vraie au rang n +1

4) c'est un peu chi...t comme calcul !



Modifié en dernier par Carpate le 15 Jan 2020, 20:28, modifié 8 fois.

tournesol
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par tournesol » 15 Jan 2020, 20:15

avec l'isomorphisme débusqué par GaBuZoMeu
a^(n)=

stephsay
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par stephsay » 15 Jan 2020, 20:27

Merci pour votre réactivité et vos réponses !

J'ai moyennement compris le commentaire de GaBuZoMeu, j'y vois un peu plus clair avec le commentaire laissé par Tournesol mais ça reste assez flou pour moi :/

J'ai bien compris le commentaire de Mathelot.

Je n'ai pas compris dans le commentaire de Carpate pourquoi a²=a²+2a ?

Carpate
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par Carpate » 15 Jan 2020, 20:33

Si , alors c'est du niveau Collège ...

stephsay
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par stephsay » 15 Jan 2020, 20:45

Ahh oui, désolée, j'oublie que dans cet exercice a*b=a+b+2a

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mathelot
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par mathelot » 15 Jan 2020, 20:55

stephsay a écrit:Ahh oui, désolée, j'oublie que dans cet exercice a*b=a+b+2a




je développe l'égalité de GBZM-Tournesol en notant la puissance de a par la loi *:

car et sont des bijections réciproques

car est un morphisme

car

car

stephsay a écrit:J'ai moyennement compris le commentaire de GaBuZoMeu


GaBuZoMeu a écrit:on considère la bijection



Alors est un isomorphisme de sur . En effet, .



En effet,
Modifié en dernier par mathelot le 15 Jan 2020, 21:11, modifié 5 fois.

stephsay
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par stephsay » 15 Jan 2020, 20:59

Oui ! Absolument ! Désolée

stephsay
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Re: Exercice sur l'anneau des polynômes

par stephsay » 15 Jan 2020, 21:19

D'accord, merci à tous d'avoir répondu ! J'ai compris. :)

 

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