Exercice racine d'un polynome

[sami602]

Bonjour , voilà je bloque sur un exercice sur les polynomes

Soit
a) Déterminer le degré de Pn et montrer que les racines de Pn (dans C) sont simple (d'ordre 1) sans les calculer
b) Déterminer les racines de Pn à l'aide des wk (les wk sont les racines éniémes de l'unités)

Pour le degré de Pn , j'ai appliquer la formule du binome de newton et je trouve




Je sors le dernier terme et je trouve





D'ou
A partir de là je sais plus quoi faire , une idée ?
Merci pour votre aide

[Sylviel]

Par absurde : suppose que tu as une racine double et montre une incohérence.

[girdav]

Bonjour,
on peut s'aider du fait que si est racine double d'un polynôme alors est racine de et .

[sami602]

Merci pour votre aide
j'ai peut etre trouvé
alors voila ce que j'ai fait dites moi si c'est juste
:
On a




et



On suppose par l'absurde que "a" est une racine double d'ou Pn(a) =0 et Pn'(a) =0
On a

On pose et comme j est une variable muette on la réapelle k

d'ou
On sort le dernier terme et on obtient

=
On multiplie par la somme de k 1 jusqu'a n-1 des deux cotés
=
=
Or a différent de 0 car 0 n'est pas une racine d'ou -a^n-1 est different de 0 et la somme des k est supérieur ou egale a 1 , donc differente de 0
Donc Pn'(a) différent de 0 => contradiction avec l'hypothése de départ
Conclusion : Les racines de Pn sont des racines simples
Alors mon raisonnement est bon ? j'ai juste ?

[sami602]

Merci pour votre aide j'ai peut etre trouvé
alors voila ce que j'ai fait dites moi si c'est juste
:
On a




et



On suppose par l'absurde que "a" est une racine double d'ou Pn(a) =0 et Pn'(a) =0
On a

On pose et comme j est une variable muette on la réapelle k

d'ou
On sort le dernier terme et on obtient


On multiplie par la somme de k 1 jusqu'a n-1 des deux cotés


Or a différent de 0 car 0 n'est pas une racine d'ou -a^n-1 est different de 0 et la somme des k est supérieur ou egale a 1 , donc differente de 0
Donc Pn'(a) différent de 0 => contradiction avec l'hypothése de départ
Conclusion : Les racines de Pn sont des racines simples
Alors mon raisonnement est bon ? j'ai juste ?

[sami602]

Sinon une piste pour la question b ?

[Sylviel]

Ton raisonnement est peut-être juste (flemme de vérifier) mais qu'est-ce qu'il est shadock ! "Pourquoi faire simple quand on peut faire compliquer"...
P(a)=0=(a+1)^n-a^n=0
P'(a)=0=n(a+1)^{n-1}-na^{n-1}=> ... = ...
et on réinjecte dans la première inégalité...

Pour le b j'aurais tendance à dire :
P(a) = 0
...^n= ...^n
...^n= 1

je te laisse terminer :)

[sami602]

Merci beaucoup sylviel , en effet mon raisonnement est vraiment shadock par rapport au tien :D , pour le b j'ai fait ce que tu m'as dit et j'ai trouvé
1 / ( e(2ikpi/n) -1) et aperemment ca marche , merci beaucoup !

[Ben314]

Salut,
Non seulement ton raisonnement est un peu schadock, mais il est aussi un peu faux :

On pose et comme j est une variable muette on la réapelle k

d'ou

ben là, c'est faux : si tu remplace k par k-1, ben faut le faire partout, y compris dans le coeff binomial (n k) qui devient un (n k-1)...
[et ça fout complètement par terre la fin de la preuve vu que ce sont pas les mêmes coeffs que dans P'...]

[sami602]

Salut,
Non seulement ton raisonnement est un peu schadock, mais il est aussi un peu faux :ben là, c'est faux : si tu remplace k par k-1, ben faut le faire partout, y compris dans le coeff binomial (n k) qui devient un (n k-1)...
[et ça fout complètement par terre la fin de la preuve vu que ce sont pas les mêmes coeffs que dans P'...]

Oui .. je me disais bien que j'avais du faire une erreur qque part mais je voyais pas ou merci