Exercice Produit Scalaire (Niveau L2)

[ThibaultPt]

Bonjour,
Je reste bloqué sur plusieurs exercices depuis quelques jours, j'arrive à faire les parties simples de ces derniers comme montrer qu'une application est un produit scalaire ou orthonormaliser une famille mais dès que ça se complique un petit peu plus je n'y arrive plus du tout.
J'espèrais donc que vous pourriez me donner quelques pistes de résolutions pour ces problèmes.


On pose E = [X] et on considère l'application B : E x E -> définie par B(P,Q) = .
On considère la forme linéaire φ sur E définie par P E -> φ(P) = P(0).

Soit n .
1.Montrer qu'il existe un unique [X] tel que B(P, ) = P(0) pour tout P [X].
2.Montrer que le degré du polynôme est (On pourra raisonner par l'absurde)
3.Montrer que le polynôme est scindé sur à racines simple dans [0;1]
4.Montrer qu'il n'existe pas de A E = [X] tel que B(P,A) = P(0) pour tout P E.

Pour tout P E on définie la forme linéaire : E -> par (Q) = B(P,Q).
On considère l'application linéaire : E -> E* , P ->
1. Montrer que est injective.
2.Montrer que n'est pas surjective.
3.Que peut-on conclure sur E et E* ?


Voilà le premier exercice sans les parties que je pense avoir réussi dans lesquelles il y avait la demonstration que B est un produit scalaire, l'orthonormalisation de la famille (1,X,X^2 - X), etc...
J'ai mis l'exercice en entier mais il est possible qu'avec la résolution du 1. on puisse facilement trouver le reste mais je bloque quand même, je n'arrive ni à montrer que An existe ni qu'il est unique.

En ésperant que mon post est compréhensible et en vous remerciant par avance pour les indications que vous pourrez me donner.

[phyelec]

Bonjour,

J'ai peut-être une idée pour "3.Montrer que le polynôme An est scindé sur à racines simple dans [0;1]"

Voilà :
Soit n un entier naturel non nul. Le polynôme An, s'écrit avec la base orthonormée () qui est la base orthonormée de . Soit i le nombre de racines réelles d'ordre impair de An,
si on peut écrire un polynôme où les racines de An sont 2 à2 distinctes. Si i=0 P=1.
si , alors P est orthogonale à An car deg(P)< deg(An), donc B(P(X).An(X))=0, donc An est le polynôme nulle, ce qui est faux. Donc i=n et donc An a n racines simples.

Je pense que cela tient la route mais à prendre avec précautions.

[GaBuZoMeu]

Pour le 1 : as-tu vu dans ton cours que si est un produit scalaire sur un espace vectoriel de dimension finie et est une forme linéaire sur , alors il existe un unique tel que pour tout , ?
Pour le 2 : si , alors . Que se passe-t-il avec ?