Exercice de proba Indépendance

[slk92]

Bonsoir, je bloque sur cet exo et j'aurai besoin d'aide svp :

Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées telles que :
P(Xn = 1) = P(Xn = -1) = 0.5

Soit N une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre d > 0, indépendante de la suite (Xn).

1) Calculer en fonction de n

2) Calculer en fonction de d

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Pour le 1), deux méthodes :
- Calculer quelle était la loi de la v.a.r. et en déduire le truc demandé (un peu long et fastidieux, mais faisable)
- Développer le carré et utiliser les propriétés bien connue de l'espérance (plus joli et plus rapide).

Et j'aurais tendance à t'inciter... à faire les deux...

[slk92]

Merci pour ta réponse,
pour la 1) je trouve n
Mais je bloque plutôt sur la 2...

[Ben314]

Pour la 2), si tu as vu la notion d'espérance conditionnelle et les propriétés associées, ça peut servir.

Sinon, je pense qu'il faut revenir à la définition de l'espérance en terme de probas puis utiliser des proba conditionnelles pour se ramener au cas 1).
Sur le principe, il faut donc écrire (formule des "proba totales") que :

[slk92]

Merci pour ta réponse !
Malheureusement je n'ai pas encore vu l'espérance conditionelle
En prépa j'avais vu la formule de Wald pour calcul des espérances de somme dependant de v.a mais ici le carré m'embête...

[Ben314]

Le carré, il pose pas vraiment de problème : ça serait quasiment n'importe quelle fonction, ça ne changerais pas grand chose :

puis tu utilise la "formule des proba totale" (c.f. post précédent) pour "casser" la proba ci dessus ce qui te donne une "double somme" et enfin tu re-regroupe les termes différemment pour faire apparaitre les espérances calculées à la question 1.
(en fait, tu démontre sans le savoir un résultat lié aux espérances conditionnelles...)