Exercice à priori difficile

[Anonyme]

Bonjour, quelqu'un pourrait-il me guider ? Voici la chose :

Soit I un ensemble ayant au moins deux élements. Montrer que pour tout ensemble A il ne peut pas exister de surjection de A sur l'ensemble des applications de A vers I.

(note :exercice de khôle mpsi)

[thomasg]

Dans ce cas là l'exercice me semble abordable.

notons y1 et y2 deux éléments de I
Notons xi les éléments de A (i variant de 1 à cardA)
notons fj les applications de A vers I (j variant de 1 à card(ensemble des applications de A vers i)

considérons f1:x1 associe y1 et qui associe y2 à tous les autres éléments de A
considérons f2:x2 associe y1 et qui associe y2 à tous les autres éléments de A
on défini de même fj pour j variant de 1 à cardA

il suffit alors de définir une autre applcation f de A vers I pour prouver que CardAIl ne peut donc pas y avoir surjection.

Je n'est pas encore pris le temps de me pencher sur le cas A infini.
Peux-tu préciser si c'est nécessaire, merci.

Au revoir

[khivapia]

Il suffit de se restreindre au cas où I a exactement deux éléments, car il est clair que si I en a plus alors l'ensemble des applications de A vers I contient l'ensemble des applications de A vers une partie à deux éléments de I (intuitivement l'ensemble des applications de A vers I est de plus en plus "gros" quand I a de plus en plus d'éléments).

Soit donc I={x1,x2}

Alors dans ce cas il y a une bijection entre l'ensemble des applications de A vers I et l'ensemble des parties de A, par exemple l'application de P(A) dans F(A,I) (applications de A vers I) , qui à une partie P associe l'application f suivante :

f : A-> I
x |-> x1 si x appartient à P
x |-> x2 sinon



Il suffit donc, en composant par cette bijection de montrer qu'il n'y a pas de surjection de A dans l'ensemble de ses parties, ce qui est plus facile : (raisonnement par l'absurde)

supposons qu'il y ait une surjection F de A sur P(A) :

on considère E={x de A | x n'appartient pas à F(x)}
alors E est dans P(A), donc E est égal à un certain F(y), y élément de A.

Deux cas : si y est dans E, alors par définition de E y n'est pas dans F(y) = E contradiction
si y n'est pas dans E, alors par définition de E y est dans F(y)=E contradiction.


Donc il n'y a pas de surjection de A sur P(A), ce qui résout l'exercice.

[quinto]

Je ne suis pas convaincu.
Si A est infini, alors le "on voit bien que c'est plus gros" n'est pas tellement justifié.

[khivapia]

;-) les "on voit bien" ne sont de toutes façons jamais bien justifiés...

je reprends le début : l'ensemble des applications de A dans I contient l'ensemble des applications de A dans une partie fixée à deux éléments de I (en effet toute application de A dans J = {x1,x2} inclus dans I fixé est une application de A dans I).

Donc s'il n'existe pas de surjection de A dans J il n'en existe encore moins de A dans I : en effet, on suppose qu'il n'existe pas de surjection de A dans J, et soit S une surjection de A dans I : alors les applications de A dans J sont toutes atteintes, ce sont les images par S des éléments d'une partie que j'appellerai B de A. Je définit alors l'application suivante S' : A -> F(A,J)
x -> S(x) si x est dans B
x -> ( A->J (une autre application de A dans J si x n'est pas dans B)
y ->x1 )

Alors S' atteint toutes les applications de A dans J (première ligne de la définition de S'), elle est donc surjective de A sur les applications de A dans J, contradiction avec l'hypothèse.


On peut donc se restreindre au cas où I a exactement deux éléments.