Exercice Polynomes prepa HEC

[popo1805]

Bonjour, je suis en premiere année de prépa commerciale voie scientifique et j'ai besoin d'aide au sujet d'un exercice sur les polynomes. Comme je viens d'un bac ES, j'ai beaucoup de difficultés en maths. Quelqu'un peut m'aider? merci d'avance.
voici l'exercice :

On pose f(x)= 1/(x²-3x+5) où x est un réel.
f puissance(n) désigne la dérivée n-ième de f ; par convention, f°=f

1) Preciser le domaine de définition de f.

2) Déterminer les fonctions f' et f''.

3) Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un polynome Pn tel que :
pour tout x appartenant à un reel, f puissance(n)(x)= P indice n (x)/(x²-3x+5) puissance(n+1) (parrecurrence)
Exprimer P indice(n+1) en fonction de Pn et P'n

4) Preciser les expressions de P indice 0, P indice 1 et P indice 2.

5) Montrer que Pn est de degré au plus egal à n. (par récurrence)

[SimonB]

1)Le domaine de définition de f, c'est le plus grand ensemble sur lequel tu peux définir f de manière à ce que ça ait un sens. Ici, ça veut dire que ton dénominateur ne doit pas être nul... Donc, tu dois chercher les solutions de l'équation : x²-3x+5=0.

2)Tu ne sais pas dériver un quotient ? Je te rappelle : si u et v sont deux fonctions, (u/v)'(x)=(u'(x)v(x)-v'(x)u(x))/v(x)²...

3)Si tu sais faire un raisonnement par récurrence, tu as déjà ton initialisation... Et en utilisant la formule que je viens de donner, c'est assez simple pour l'hérédité. (Je te rappelle que , c'est la dérivée n-ième de f.)

[popo1805]

en fait j'ai reussi les 2 premieres questions mais a partir de la troisieme chui bloquée, les recurrences c'est pas du tout ma tasse de thé!

[SimonB]

Bon, donc, l'initalisation est faite (au rang 0, 1 et 2, tes formules doivent te montrer que c'est bien un polynôme que tu as au numérateur).
L'hérédité, tu ré-utilises la formule que je t'ai donnée : tu supposes que pour n quelconque, , et tu dérives cette expression. La dérivée d'un polynôme est un polynôme...

[popo1805]

est ce que vous pourriez m'expliquer comment je dois m'y prendre pour cette recurrence?
merci!

[SimonB]

si tu redérives la formule, tu as :

(c'est une application bête et méchante de la dérivée d'un quotient)
Tu fais une simplification par et c'est gagné.

[popo1805]

ok je vais essayer de le refaire et une derniere question : pour trouver les expression P0 P1 et P2 je dois remplacer où? ds l'expression f puissance n (x)?

[SimonB]

L'expression de f, de f' et de f'' te les donne directement.

[popo1805]

mais j'ai pas compris comment je dois faire l'initialisation ds la question 3?

[SimonB]

Au rang 0, la dérivée 0-ième de f, c'est elle-même, et là, le numérateur (1) est un simple polynôme de degré 0. Donc c'est bon.