Exercice plan tangent et dérivées partielles

[Moplom]

Bonjour,

je suis actuellement bloqué sur un exercice (1ere année de prépa) à 2 questions.
Si quelqu'un pouvais m'aider

A- Trouver les points sur z=4x²+y² où le plan tangent est parallèle au plan x+2y+z=6.

B- Etudier l'existence et la nature d'extrema éventuels des fonctions suivantes définies dans IR² par :
1) f(x,y)=e^-2(2x²+y²-8x-4y)

2) f(x,y)=(x²+y²)*e^x²-y²


Merci d'avance à tous ceux qui répondront !

Arthur

[Joker62]

Hello,

C'est quoi l'équation du plan tangent en à une surface représentée par une fonction qui est différentiable en ?

[Moplom]

Yop,

C'est z=f(X0,Y0)+(df/dx)(x-x0)+(df/dy)(y-yo)
Non ?

[Joker62]

Oui c'est ça :)

Et bien on prends un point (a,b) du plan.
On écrit l'équation du plan tangent en ce point.

Et on regarde : quand est-ce-que deux plans sont parallèles ? Quand leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

[Moplom]

Donc je dois travailler avec des points (a,b) au hasard ?

[chan79]

Donc je dois travailler avec des points (a,b) au hasard ?

oui, tu prends un point de coordonnées (a;b) et la colinéarité te permettra de conclure en déterminant a et b.

[Moplom]

Oh mais c'est bizarre, je pensais qu'il n'y avait jamais de hasard dans les maths !

Merci en tout cas, je vais essayer ça !

[Ben314]

Deux remarques :

a) Il y a toute une (grosse) branche des maths. qui s’intéresse particulièrement au "hasard" c'est la théorie des probabilités (voir là par exemple)

b) Dans le contexte de ton exercice, il me semble que dire "je dois travailler avec des points (a,b) au hasard" n'est pas tout à fait exact, dans le sens qu'on ne te demande (évidement) pas "d'essayer" le plan tangent en (1,0) puis "d'essayer" le plan tangent en (0,1), etc (sinon tu serait pas sorti de l'auberge...)
On te demande "d'essayer" le plan tangent en (a,b) avec (a,b) quelconque
donc on te demande en fait "d'essayer" TOUT les points du plan avec un seul et même calcul dans lequel a et b désignent des réels quelconques.

[Moplom]

Voila, Ben314 ! C'est ce que je pensais...
Mais du coup, j'aavais commencé a faire ça, mais je suis perdu, une fois l'expression de mon plan tangent je sais pas comment voir s'il est colinéaire à l'autre ou pas..

[Ben314]

Normalement, arrivé à ce point, tu as 2 équations de plans : celle donné par l'énoncé x+2y+z=6 et l'autre qui est l'équation du plan tangent en (a,b) (dont les coefficients devant le x, le y et le z ainsi que la constante doivent sans doute dépendre de a et b : ce n'est pas le même plan tangent pour tout les points)
Tu va ensuite écrire que ces deux plans sont tangents ssi les vecteurs normaux sont colinéaires.
Comme le vecteur normal au plan tangent dépend des réels a et b, cela va te donner des équations contenant les réels a et b.
Il n'y aura plus qu'à (essayer de) les résoudre (c'est à dire à trouver les couples a,b qui marchent) pour avoir la réponse a ton problème.

Sait tu comment écrire (à l'aide d'équations) que deux vecteurs (non nuls) de R^3 sont colinéaires ?

[Moplom]

Non ça je ne sais pas faire..

[Moplom]

Je pense avoir trouvé l'équation du plan tangent :
z=4a²+b²+8x(x-a)+4+2y(y-b)

où a et b correspondent à Xo et Yo

C'est ça ?

[Moplom]

J'ai fini par réussir la partie A !

J'attaque la B :'(

[Joker62]

Hello,

Il faut trouver les points critiques. C'est à dire les points du plan où le gradient s'annule.
Une fois ces points critiques trouvés, il faut étudier la matrice Hessienne en ces points pour savoir s'il s'agit d'un min/max/point selle

[url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_critique_(mathématiques[/url])

[Moplom]

Humm, on a pas vu ça en CM encore, bizarre qu'on nous le demande...

Merci, je vais essayer !