Exercice nombres complexes

[electro]

Bonjour, je bloque sur la dernière question d'un exercice dont voici l'énoncé :

Soit a et b 2 réels distincts et
Résoudre , prouver que cette équation admet n-1 solutions distinctes que l'on notera z1,z2,..,zn-1 et dont on donnera la forme algébrique.
Calculer la somme des solutions de (E )

Pour (E) j'ai trouvé ceci :
Et pour la forme algébrique :

Et voila pour la somme des z1 jusqu'à zn-1 j'ai essayé avec l'expression algébrique je bloque sur le . J'ai essayé de calculé cette somme : mais ça ne donne rien. Je me doute bien qu'il faut utiliser (E) mais je ne sais pas comment.

[Pseuda]

...............................

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ce qu'il faut utiliser ici, c'est les liens qu'il y a entre les racines d'un polynôme et les coeff. du polynôme en question :
Si alors la somme des racines (complexes) de (comptées avec multiplicité) est . . . et le produit des racines de (avec multiplicité) est . . .

[electro]

Il me semble que je n'ai pas encore étudié la somme des racines d'un polynôme. Mais après une rapide recherche j'ai trouvé que cette somme valait -b/a et le produit (-1)^n . k/a. Mais je ne parviens pas à voir en quoi cela peut m'aider...

Sinon plus classiquement j'ai pensé pouvoir utiliser ceci :



et donc
puis avec le produit :
si je ne me suis pas trompé.

Après pour transformer et obtenir z1+z2+...+z^n-1 la je sèche...

[electro]

ok donc j'ai développé et je trouve bien les formules de somme et produit des racines d'un polynôme




si je ne me trompe pas

J'ai un coefficient de a^(n-2) et b^(n-2) mais ca me semble compliqué de faire mieux. Je peux tout regrouper pour sortir Z1+z2+ Z3... mais la somme devient vraiment complexe

[Pseuda]

Bonjour,

Cela ne donne rien, j'avais effacé mon message. Il y a plus simple : comme a et b sont réels, si z vérifie l'équation, alors z barre aussi, donc la somme des z_i solutions de l'équation est ...

[electro]

Egale à la somme des Z_i barre ?

[Ben314]

Bon, visiblement, ça rame...
Si tu as un polynôme (avec ) dont les racines (avec multiplicité) sont , ça signifie que ton polynôme se factorise sous la forme .
Or si tu développe cette expression, ça donne

(sans rentrer dans les détails concernant les coefficients des termes en pour )
Ce qui signifie que et que
(ce qui n'est jamais qu'une généralisation du cas bien connu des polynômes du second degré où la somme des racines vaut et le produit des racines vaut )

Et pour en revenir à ton exercice, il te suffit d'appliquer ce résultat là au polynôme .
Si on l'écrit , c'est quoi le degré ?
Et combien valent et ? (et tu peut aussi évaluer pour en déduire la valeur du produit des racines...)

[Pseuda]

Bonsoir,

@Ben314 Mais electro ne connait pas cette méthode ?

@electro On peut utiliser la forme algébrique des solutions que tu as trouvée : si est solution, alors est solution, et est réel. Ainsi la somme des solutions de (E) est réelle.

Ou encore, comme la somme des solutions de l'équation est égale à la somme de ses solutions conjuguées, elle est donc réelle.

Et il y a combien de solutions, de partie réelle ?

[electro]

D'accord je crois voir !

Bon en reprenant mon expression précédente :



(conjugué)
Et donc on en déduis que : = 0
Donc il ne me reste que qui correspond à la somme des racines

[Pseuda]

Je trouve ça aussi. Avec la méthode de Ben314, je trouve , mais j'ai dû faire une erreur quelque part (car pour n=2 et 3, c'est bien qu'on trouve).

[electro]

D'accord génial et merci encore ! Je vais essayer avec l'autre méthode même si je trouve celle la la vraiment astucieuse.

[Pseuda]

Bonjour,

Ceci montre que si n est pair, alors n-1 est impair et une racine est réelle (facile à deviner laquelle).

Cela montre aussi que : . C'est normal car sur la somme, les termes opposés étant pris 2 à 2, les cosinus sont opposés pendant que les sinus sont égaux : . Cela faisait une 3ème démonstration très simple.