Exercice de Maths sup

[_KORRIGAN_]

Bonjour à tous, voila j'ai un exercice de maths à faire et je sèche depuis plusieurs heures déjà:

"Le but de cet exercice est de résoudre l'équation fonctionnelle:
(E), quelque soit x appartient à R:
f''(x)+f(-x)=x*cox(x), où f est la fonction inconnue deux fois dérivable sur R.

1) Démontrer que si f est solution de (E), alors:

g: x--> 0.5*(f(x)+f(-x)) est paire et solution de
(H): y''+y=0

h:--> 0.5(f(x)-f(-x)) est impaire et solution de
(L): y''-y= xcos(x)

2) Démontrer que les seules fonctions paires qui soient combinaison linéaire des fonctions sinus et cosinus sont les fonctions x-->A*cos(x) et que les seules fonctions impaires qui soient combinaison linéaire des fonctions x--> exp(x) et x-->exp(-x) sont les fonctions x--> B*sh(x), où A et B sont deux constantes réelles arbitraires.

3) Trouver:
a) les fonctions paires solutions de (H)
b) les fonctions impaires solutions de (L)

4) Résoudre (E)


PS: j'ai seulement réussi à démontrer que g est paire et que h est impaire.

Merci de m'aider...

[Chimerade]

Bonjour à tous, voila j'ai un exercice de maths à faire et je sèche depuis plusieurs heures déjà:

"Le but de cet exercice est de résoudre l'équation fonctionnelle:
(E), quelque soit x appartient à R:
f''(x)+f(-x)=x*cox(x), où f est la fonction inconnue deux fois dérivable sur R.

1) Démontrer que si f est solution de (E), alors:

g: x--> 0.5*(f(x)+f(-x)) est paire et solution de
(H): y''+y=0

h:--> 0.5(f(x)-f(-x)) est impaire et solution de
(L): y''-y= xcos(x)

2) Démontrer que les seules fonctions paires qui soient combinaison linéaire des fonctions sinus et cosinus sont les fonctions x-->A*cos(x) et que les seules fonctions impaires qui soient combinaison linéaire des fonctions x--> exp(x) et x-->exp(-x) sont les fonctions x--> B*sh(x), où A et B sont deux constantes réelles arbitraires.

3) Trouver:
a) les fonctions paires solutions de (H)
b) les fonctions impaires solutions de (L)

4) Résoudre (E)


PS: j'ai seulement réussi à démontrer que g est paire et que h est impaire.

Merci de m'aider...

g(x)=0.5*(f(x)+f(-x))
g'(x)=0.5*(f '(x)-f '(-x))
g''(x)=0.5*(f ''(x)+f ''(-x))
Donc g''(x)+g(x)=0.5*(f(x)+f(-x)+f ''(x)+f ''(-x))
g''(x)+g(x)=0.5*(f ''(x)+f(-x)+f ''(-x)+f(x))

Or f''(x)+f(-x)=x*cox(x)
donc f ''(-x)+f(x)=-x*cos(x)
g''(x)+g(x)=0.5*([x*cos(x)]+[-xcos(x)])=0

g est donc racine de y ''+y = 0

Je n'ai pas fait le calcul pour h mais ça doit être à peu près du même tabac !

Les solutions de H et L sont des grands classiques...