Exercice de math

[Georges10]

Bonsoir à tous !

Svp j'ai suis bloqué à la question 3.



J'ai essayé de demontrer par récurrence mais j'ai du mal à prouver la véracité à l'ordre n+1.

Je veux des idées.

Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour
Il ne s'agit pas de faire une récurrence mais de développer et simplifier (les radicaux vont s'éliminer)

[Georges10]

Comment ?
A vrai dire je ne vois pas.
Merci

[pascal16]

formule du binôme de newton 2 fois

on regroupe les deux sommes

les racine se neutralisent pour certaines, sont à une puissance paire pour les autres, il reste :
-> que des sommes de polynôme, donc un polynôme
-> de degré n

[Ben314]

Salut,

(c'est la théorie générale des suites récurrentes qui donne ce résultat)

[Georges10]

formule du binôme de newton 2 fois

on regroupe les deux sommes

les racine se neutralisent pour certaines, sont à une puissance paire pour les autres, il reste :
-> que des sommes de polynôme, donc un polynôme
-> de degré n

J'ai fait et je trouve que Pₙ(x) = 2( ∑ k=0 à E(n/2) où E designe la partie entière.

mais comment justifier que Pn est de degré n ?
merci.

[Georges10]

....

[pascal16]

j'ai pareil pour Pn (sauf le 1/2 qui multiplié par 2 saute)
c'est donc la somme de (1+E(n/2) ) polynômes tous de terme dominant 1*x^n * (le coef binomiale).
Pour le coef du terme dominant, on a une somme de nombres positifs, la somme est un polynôme de degré n

vérifie aussi, la somme de coefs binomiaux, c'est 2^n, là la somme doit faire 2^(n-1)

[rcompany]

si k est impair: le terme de rang de la somme est nul car

si k est pair: et
est un polynôme donc est un polynôme, et est un polynôme donc est un polynôme (un produit de polynômes est un polynôme)
et est un polynôme (une somme de polynômes est un polynôme)

Soit ,

Si est pair, , sinon

[Georges10]

Si est pair, , sinon

Bonjour. Je ne comprend pas pourquoi tu dis sinon .
Or on a vu que si n est impair la somme est nulle.

[pascal16]

je peux me tromper, mais le polynôme est nul à l'intérieur de la somme pour k impair, pas n impair
k=0 donne toujours un x^n qui est sommé avec d'autres polynômes une fois sur 2 nuls et les autres fois ont un nCk * x^n comme terme dominant.

[aviateur]

Bonjour
Ok pour le travail de @rcompagny mais il faut reprendre ses deux dernière lignes car ça devient faux comme par exemple:.
En effet tu poses l=E(n/2) et n est impair et bien 2l c'est pas n. Ne serait que
écrire binomial(2 l, k) à la place de binomial(n, k) ça va pas.
On a donc

Quant à voir le degré de
Chaque terme de la somme est un polynôme de degré exactement égal à n et dont le coefficient dominant est visiblement>0. Ceci implique que est bien un polynôme degré n avec un coefficient>0 (qui par ailleurs vaut ).

[pascal16]

Pn = g o phi o f.
on écrit ce que vaut la partie de droite
on fait une quantité conjuguée pour 'remonter' ce qu'il y a au dénominateur
le dénominateur devient (-1)^n