Exercice de math niveau BTS 2ème année

[Scipion1999]

Bonjour,
Je suis en BTS seconde année et j'ai un problème sur plusieurs questions que je n'arrive pas à faire.
Pouvez-vous m'aider?

Voici l'exercice :
La scanographie est un procédé radiologique, réalisé à l’aide d’un scanner, qui permet de reconstruire informatiquement l’image
d’une coupe du corps humain à partir d’une série d’analyses. Elle permet notamment de détecter des tumeurs.
Dans cet exercice, on s’intéresse aux scanographies réalisées dans un hôpital.

Une étude effectuée dans cet hôpital montre que :
• 60% des scanographies effectuées concernent le cerveau et, parmi celles-ci, 20% détectent une tumeur ;
• 90% des autres scanographies effectuées ne détectent pas de tumeur au patient.
Parmi les patients de l’hôpital qui ont besoin d’une scanographie, on en choisit un au hasard.
On note C l’évènement « le patient fait une scanographie du cerveau » et T l’évènement « le patient a une rumeur ».
1/ Montrer que la probabilité que le patient ait une tumeur est égale à 0,16.
2/ La scanographie permet de détecter une rumeur au patient. Quelle est la probabilité que cette tumeur ait été détectée au cerveau ?

Pareil pour cette exercice :
La durée de vie, en heures, d'un switch est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle.
À partir d'une étude statistique, le fabricant a pu évaluer que 40% des switches durent moins de 511 heures, c'est à dire que P(T<=511)=0,4.
Dans la suite de l'exercice, on prendra désormais λ=0,001.
On indiquera les probabilités à calculer, les formules utilisées et on arrondira les probabilités à 10^-4.
7/ On admet dans cette question que les fonctionnements de deux switches identiques sont indépendants.
On admet qu'un montage de deux composants en série fonctionne si les deux switches fonctionnent simultanément et qu'un montage
de deux switches en parallèle fonctionne si au moins un des deux transistors fonctionne.
a/ Quelle est la probabilité qu'un montage de deux composants en série fonctionne au delà de 2000 heures ? (Arrondir à 10^-3).
b/ Quelle est la probabilité qu'un montage de deux composants en parallèle fonctionne au delà de 2000 heures ? (Arrondir à 10^-3).
8/ L'entreprise qui fabrique les switches a décidé de dédommager leurs clients si la durée de vie est inférieure à un certains temps t.
Les switches sont ainsi sous garantie jusqu'à t heures de fonctionnement.
De plus, Le coût de fabrication d'un switch est de 10€.
L'entreprise vend un switch à 20€ et promet de rembourser 60€ en cas de durée de vie inférieure à t.
a/ Justifier que le bénéfice réalisé pour un switch est donnée par la fonction B définie par B(t)=60e^(- λt)−50.
b/ Déterminer la durée t maximale donnant droit au remboursement qui permet à l'entreprise d'être bénéficiaire malgré le
dédommagement.
c/ Le conseil commercial propose de limiter à 2% des switches la possibilité de remboursement. Quelle période de garantie doit
proposer l'entreprise si elle suit le conseiller commercial ?
d/ Quel est alors le bénéfice réalisé par switch vendu ?

[beagle]

Salut , et sans vanner , c'est juste que j'ai appris les maths dans le journal de Mickey:

tu prends une feuille à carreau,
tu fais un carré 10X10 = 100, du 100%

tu colories les 6 premiers colonnes = 60%, = scanner cerveau
la dedans en bas sur deux rangées = 2/10 = 20% = tu notes T dans les 12 cases

tu colories les 4 dernières colonnes d'une autre couleur
et là en bas tu vas mettre T dans la dernière rangée, enfin les 4 cases du bas
(pour chaque colonne tu auras 1/10 de tumeurs , = 90% de pas de tumeurs dans tes 4 dernières colonnes.

ensuite tu comptes 6 + 6 du cerveau et + 4 pas cerveau = 16 pour 100 de tumeurs

Bon, un peu plus présentable tu feras semblant de compter:
6/10 x 2/10 = 12/100 de tumeurs cerveau
4/10 x 1/10 = 4/100 de tumeurs pas cerveau
au total 12 +4 = 16/100 de tumeurs soit 0,16

[beagle]

"1/ Montrer que la probabilité que le patient ait une tumeur est égale à 0,16."

cela me parait suspect si le patient fait un scanner cerebral ET un scanner non cerébral

puisque l'on bosse des analyses et pas des patients dans les données

[Scipion1999]

Merci pour ton aide,
Je pense que ses soit l'un soit l'autre, il fait soit un scanner soit il n'en fait pas et cela pour chaque patient

[beagle]

Merci pour ton aide,
Je pense que ses soit l'un soit l'autre, il fait soit un scanner soit il n'en fait pas et cela pour chaque patient

je pense que c'est juste mal formulé,
mais dans la pratique on peut ètre amené à faire les deux, donc je n'aurais pas écrit la question ainsi.

Sinon si tu as des formules de proba conditionnelle, essaye de rédiger ce que je t'ai mis avec ces formules
proba de T sachant cerveau
proba de T sachant pas cerveau
Faudrait quand même faire plaisir à ton prof s'il essaye de te faire apprendre de belles formules,
histoire de montrer que tu les as bien recopié dans ton cours,
et encore mieux que tu sais t'en servir.

[aviateur]

Bonjour
Dessiner un échiquier pour faire la question pourquoi pas. Mais il faut tout de même mettre du formalisme au risque de ne pas pouvoir aller plus loin.

Donc je donne les indications pour la question 7) a)
Je ne vais pas refaire un cours sur la loi exponentielle.
Normalement tu as vu que pour

Les deux switches en séries ont une durée de vie et qui suivent la même loi que T et sont indépendantes.

L'évènement dont on demande la probabilité est : et
donc on a :
(indépendance)

[Scipion1999]

je pense que c'est juste mal formulé,
mais dans la pratique on peut ètre amené à faire les deux, donc je n'aurais pas écrit la question ainsi.

Sinon si tu as des formules de proba conditionnelle, essaye de rédiger ce que je t'ai mis avec ces formules
proba de T sachant cerveau
proba de T sachant pas cerveau
Faudrait quand même faire plaisir à ton prof s'il essaye de te faire apprendre de belles formules,
histoire de montrer que tu les as bien recopié dans ton cours,
et encore mieux que tu sais t'en servir.

Oui, j'ai présenté les choses comme ça,
(P(C)*P_C (T))+ (P(C_)*P_(C_) (T))= (0.6*0.2)+(0.4*0.1)= 0.16

Merci beaucoup pour ton aide

[beagle]

Salut, au-delà de la boutade, l'idée c'est de ne pas te laisser impressionner par des formules,
tu dois ètre capable de voir ce que tu fabriques,
et rédiger mieux que moi bien sur, grace à ce support!!

Choses plus sérieuses avec aviateur.

[Scipion1999]

Ok donc du coup cela donne ça :
7/ a/
P(T1>2000)et(T2>2000)=P(T1>2000)*(T2>2000)=P(T>2000)^2=(1- P(T≤2000))^2=(e^(-2000*λ) )^2= (e^(-2000*0.001) )^2=0.018
La probabilité qu’un montage de deux composants en série fonctionne au-delà de 2000 heures est de 1.8%.

Et donc pour les deux composants en parallèle, je suppose que ses P(T1>2000)ou(T2>2000) mais du coup il faut faire P(T1>2000) / (T2>2000) ?

[aviateur]

Pour un fonctionnement en // pas du tout.

L'événement est de la forme "A ou B" (pour ça d'accord). Mais c'est bien connu que
P(A ou B)=P(A)+P(B)- P(A et B) et puis P(A et B)=P(A) * P(B ) (indépendance).

[Scipion1999]

A ok donc cela donne ça :
7/ b/
b/ P(T1>2000)ou(T2>2000)=P(T1>2000)+P(T2>2000)-P(T1>2000)et(T2>2000)→ e^(-2000*λ)+e^(-2000*λ)-0.018→ e^(-2000*0.001)+e^(-2000*0.0010)-0.018=0.2526=0.253

La probabilité qu’un montage de deux composants en parallèle fonctionne au-delà de 2000 heures est de 25.3%.

[aviateur]

Oui, c'est ça. Une remarque quant à l'écriture. Il manque des niveaux de parenthèses et puis j'ai mis "ou" et "et" pour des raisons techniques mais de préférences mettre les symboles "union" et "intersection".

[Scipion1999]

Ok merci, j'ai rajouté les parenthèses.
Pourrais-tu aussi m'expliquer pour le 8 car je ne sais pas du tout comment mis prendre ?

[aviateur]

Pour le 8 a) la réponse donnée est fausse. En effet tu imagines que l'appareil tombe en panne tout de suite (t=0) alors le bénéfice doit être négatif 10E - 60 E= -50E. Or la solution proposée donne un bénéfice positif. Il y a surement une erreur de signe.

Ce qu'il faut comprendre dans la question (même si ce n'est pas dit) c'est que c'est un bénéfice moyen que l'on demande de calculer. Le bénéfice pour un appareil est aléatoire on va l'appeler G , il prend 2 valeurs possibles
-50 E avec une proba P(T<t) ou alors 10 E avec une proba p(T>t)=1-P(T<t)

Donc le bénéfice moyen est E(G)=-50 P(T<t) +10 (1-P(T<t)) =B(t).

[Scipion1999]

Donc cela donne ça :
B(t)= -50*P(T<t)+10*(1-P(T<t)=-50 * e^(t*λ)+10

[aviateur]

Non c'est pas ça. Mets les détails, je crois que l'on retrouve l'opposé de ce qui est dit dans l'énoncé.

[Scipion1999]

Salut, j'ai recontacté mon professeur pour lui signaler l'erreur mais il m'a dit qu'il n'y en avait pas il m'a dit ça :

Considère deux cas :

switch de longue durée : quelle bénéfice alors ? Quelle est la probabilité d'obtenir ce cas ?

switch de courte durée : quelle bénéfice alors ? Quelle est la probabilité d'obtenir ce cas ?

[aviateur]

Oui tu as raison et j'ai du me mélangeant les pinceaux.
Et c'est bien cohérent car plus t est petit plus c'est favorable à l'entreprise et inversement plus t est grand plus
c'est défavorable.
donc tu regardes le signe de soit B(0) ou B(+\infty) pour voir si le résultat est cohérent.

Par contre si tu avais fini mon calcul tu aurais vu que je retrouve le résultat donné.



Et c'est pour ça que en fonction de ce que j'avais fait je ne comprends pas comment tu es arrivé à autre chose
puisqu'il n'y avait que à remplacer et simplifier.

[Scipion1999]

Je ne sais plus trop comment j'avais fait, et donc pour la question b il faut calculer t avec la formule du a avec landa qui est 10 ?

[aviateur]

Et bien on a vu que B(t) est décroissante pour être positif au départ (t petit) puis négatif quand t est grand
Donc tu résous B(t)=0 et la solution t=t_{max} et le temps à partir duquel le bénéfice va devenir négatif donc défavorable à l'entreprise. C'est ce temps là qui est demandé.