Exercice :intéressant !!!

[hisuka]

soit E l'ensemble des suites numériques U=(un) vérifiant la relation : un = 3un+1- 2un+2 pour tout n appartient a IN .
1.montrer que E est un espace vectoriel sur IR .
2.soit l'application T:E------>IR^2 définie par T(u)=(u0,u1) pour toute suite U=(un) ,Montrer que T est un isomorphisme .
3.Déduire la dimension de E
4.Démontrer que les seules suites géométrique appartenant à E sont les deux suites a=(an) et b=(bn) définie par an=2n , bn=1 pour tout n appartenant a IN
5.Montrer que ces deux suites a et b forment une base de E
6.Déduire des questions précédente que toute suite u=(un ) de E est de la forme Un=2^nA +B ou A et B sont des constantes réelles .
7.application:Trouver la suite C=(cn) vérifiant la relation cn+1=3cn+1 -2cn avec c0=1,c1=3

[Manny06]

quelles sont tes questions ?

[Dinozzo13]

Salut !

(...) U=(un) (...) u=(un) (...)

C'est ou ?

[Dinozzo13]

quelles sont tes questions ?

je pense en fait, qu'il s'agit d'un défi.

[Manny06]

je pense en fait, qu'il s'agit d'un défi.

il me semble que c'est un exercice très classique
pour la question 4)
rajouter suites géométriques non nulles
et il me semble que c'est plutôt a=(1/2)^n
si la definition des suites est bien
u(n)=3u(n+1) -2u(n+2) en posant u"indicen"=u(n)

[Dinozzo13]

pour la question 4)
rajouter suites géométriques non nulles

Comment ferais-tu pour la question 2°) ?

[Manny06]

Comment ferais-tu pour la question 2°) ?

d'abord pour la bijection
montrer que quelque soit (u0,u1)€R² il existe une unique suite (U) telle que T(U)=(u0,u1)
pour cela montrer par recurrence que si on connait u0 et u1 la suite (U) verifiant la relation de récurrence est definiie de façon unique
ensuite
verifier que T(U+V)=T(U)+T(V) c'est à dire
le terme d'indice 0 de U+V est u0+v0
le terme d'indice 1 de U+V est u1+v1
verifier que T(kU)=kT(u) c'est à dire
le terme d'indice 0 de kU est ku0
le terme d'indice 1 de kU est ku1
on obtient donc un isomorphisme d'espaces vectoriels

[Dinozzo13]

(...)
pour cela montrer par recurrence que si on connait u0 et u1 la suite (U) verifiant la relation de récurrence est definiie de façon unique
ensuite
verifier que T(U+V)=T(U)+T(V) c'est à dire
le terme d'indice 0 de U+V est u0+v0
le terme d'indice 1 de U+V est u1+v1
verifier que T(kU)=kT(u) c'est à dire
le terme d'indice 0 de kU est ku0
le terme d'indice 1 de kU est ku1
on obtient donc un isomorphisme d'espaces vectoriels

N'aurais-t-on pu faire un raisonnement par l'absurde ou par contraposée ?

Pour le morphisme, moi j'aurai juste montré que T(u+v)=T(u)+T(v).
Pourquoi t'occupe-tu de la multiplication par un scalaire ?

[Le_chat]

Ben c'est fortement sous entendu qu'on parle d'isomorphisme d'espace vectoriel, on a besoin de la multiplication par un scalaire.

Pour montrer que c'est un isomorphisme, on peut aussi dire que l'application

(a,b)->(un) telle que u0=a, u1=b et pour n;)0, u(n+2)= 3/2 u(n+1)-1/2u(n)



est clairement la bijection réciproque.

[Dinozzo13]

Oui biensûr je suis bête, est muni de et :+++:

[hisuka]

dsl ,pour la question 4 on peut trouver une suite géométrique qui appartient a E ( donc l'unicité est fausse )

[Manny06]

dsl ,pour la question 4 on peut trouver une suite géométrique qui appartient a E ( donc l'unicité est fausse )

je ne comprends pas ce que tu veux dire
une suite géometrique verifiant la relation de recurrence
u(n+2)= 3/2 u(n+1)-1/2u(n)

est du type Un=q^n
avec q^(n+2)-(3/2)q^(n+1)+(1/2)q^n =0
soit q^n(q²-(3/2)q+(1/2))=0
soit q=0
soit q=1 soit q=(1/2)