Exercice intéressant - Algèbre

[Dinozzo13]

Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour commencer un exercice sympa.

On se donne un ensemble quelconque et l'ensemble des applications de dans .
On munit de l'addition modulo 2 des images :
est l'application de dans définie par :
.
1°) Montrer que est un groupe abélien, dans lequel chaque élément est son propre symétrique.

En premier lieu je pensais montrer que admet un élément neutre, mais je ne vois pas comment faire
D'après moi, l'élément neutre de est l'application nulle : , mais je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance.

[Skullkid]

Bonsoir, si on note l'application nulle, il te suffit de calculer pour tous les x de S. Souviens-toi bien que f(x) ne peut valoir que 0 ou 1.

[Matt_01]

Par définition, on doit avoir f + e = f pour tout f.
Alors, cela donne f(x)=(f+e)(x)= 1 si f(x) différent de e(x) et 0 sinon.
Si, pour x donné, f(x)=1 alors (f+e)(x) doit être égal à 1 et donc e(x) = 0.
Si f(x) = 0 alors (f+e)(x) doit etre égal à 0 et donc e(x) = 0.

[Dinozzo13]

Ah oui, l'élément neutre est tel que

Doit-on vérifier que cela marche dans les deux sens ? ( ).

De plus, est-ce le fait que soit quelconque est juste ?
Si alors toute applucation de n'existerait pas, non ?
Enfin, ici l'élément neutre est facile à trouver, mais si on avait quelque chose de plus complexe, comment déterminerait-on l'élément neutre ?

[Matt_01]

Logiquement tu dois le montrer "dans les deux sens", mais ici autant montrer que le groupe est abelien avant, ce qui permet de ne devoir montrer que d'un côté. Même si la on parle de choses évidentes (commutativité etc ...)
Pour déterminer l'élément neutre, c'est toujours de cette manière qu'il faut procéder ;) (en tout cas c'est comme ca que je procède, et en même temps c'est indispensable vu que c'est la definition)

[Dinozzo13]

Ok, je poursuis l'exercice. Je reviens si j'ai encore quelque difficultés.

Quand tu me dis de montrer que le groupe est abélien avant, dois-je montrer qu'avant tout est commutative dans ?

[Skullkid]

Pour ce qui est de S, c'est vrai qu'il vaut mieux préciser qu'il est non vide pour éviter les discussions métaphysiques. Personnellement je considère qu'il n'y a qu'une seule application du vide dans {0,1}, mais la loi n'a pas vraiment de sens sur cette application...

[Dinozzo13]

(en tout cas c'est comme ca que je procède, et en même temps c'est indispensable vu que c'est la definition)

Est-ce que tu pourrais détaillé ton raisonnement de manière générale ?
Quand tu dis pour un x donné, tu sosu-entends quoi ?
Enfin, si, à la fin de ton raisonnement, on avais obtenu un différent, que se passerait-il ?

[Dinozzo13]

Pour ce qui est de S, c'est vrai qu'il vaut mieux préciser qu'il est non vide pour éviter les discussions métaphysiques. Personnellement je considère qu'il n'y a qu'une seule application du vide dans {0,1}, mais la loi n'a pas vraiment de sens sur cette application...

Ah bon ! Quelle est cette application ?!

[Skullkid]

Le triplet , qui satisfait la définition formelle d'une application. Évidemment ce n'est pas une application au sens intuitif puisque ça n'a pas de sens de parler de f(x)...

Sinon, comme l'a dit Matt_01, c'est toujours la même démarche pour trouver l'élément neutre si tu n'as pas d'idée : si l'élément neutre e existe, alors il doit vérifier f+e = f pour tout f. Tu en déduis un candidat pour e et tu vérifies qu'il marche. Comme ici les éléments de ton ensemble sont des applications, leur égalité se traduit par l'égalité des images de tous les éléments de l'ensemble de départ, c'est pour ça que Matt_01 se donne un x dans S. Ensuite, puisque la définition de fait intervenir une distinction de cas, il distingue les cas f(x) = 0 et f(x) = 1.

Je ne comprends pas ta question "que se passerait-il si on avait obtenu un différent ?".

[Dinozzo13]

Si, à la fin du raisonnement de Matt_01, on avait obtenu, en testant et , respectivement, et, que se serait-il passé ?
Déjà, est-ce possible ? A mon avis non, car l'élément neutre est unique dans un groupe, mais après, si on est pas dans un groupe...

[Dinozzo13]

Le triplet

Je ne comprends pas cette écriture, pourrais-tu être plus explicite ?

[Skullkid]

Si, à la fin du raisonnement de Matt_01, on avait obtenu, en testant et , respectivement, et, que se serait-il passé ?

À ce moment-là ça voudrait dire qu'il n'y a pas d'élément neutre, puisque le seul candidat trouvé dépend de f.

Tu n'as pas vu la définition d'une application en sup ? Une application de E dans F est un triplet d'ensembles (E,F,G) où G est inclus dans ExF et vérifie .

[Dinozzo13]

Ah cette définition, je pensais à une autre...