Exercice intégrale

[Ainow]

bonsoir ,
je bloque complètement sur la première question de l'exercice suivant et j'aimerai avoir des indications :
"soit f : R---->R une fonction C1, pour x différent de 0, on pose:
F(x)=

1) montrer que F est continue sur R* et peut être prolongée par continuité en 0

Merci par avance

[pascal16]

Pourquoi ça doit marcher :
f continue en 0
=> proche de 0; f vaut a peu près f(0)
=> son intégrale de -x à x vaut a peu prés 2xf(0)
=> 2xf(0)/2x= f(o) donc F(0) vaut f(0) par passage à la limite si on veut F continue en 0

juste pour l’existence, on peut simplement utiliser que f est bornée proche de 0
pour la valeur, il faut faire attention dans l'ordre d'écriture des "epsilon-alpha" pour ne pas que l'un dépend de l'autre dans les passages à la limite.

[Ainow]

Euh j'avoue ne pas bien comprendre, si f est C1 alors f est dérivable donc continue en 0 ?
Je comprends pas en quoi le fait que f soit continue implique que peut être prolongée en continuité en 0 vu que c'est le terme avant l'intégrale qui pose problème (enfin je crois)
Par ailleurs j'ai pas non plus compris pourquoi l' intégrale f en 0 de -x à x vaut a peu prés 2xf(0)
(désolé ça fait beaucoup de chose que je n'ai pas compris)

[Pseuda]

Euh j'avoue ne pas bien comprendre, si f est C1 alors f est dérivable donc continue en 0 ?
Je comprends pas en quoi le fait que f soit continue implique que peut être prolongée en continuité en 0 vu que c'est le terme avant l'intégrale qui pose problème (enfin je crois)
Par ailleurs j'ai pas non plus compris pourquoi l' intégrale f en 0 de -x à x vaut a peu prés 2xf(0)
(désolé ça fait beaucoup de chose que je n'ai pas compris)

Bonsoir,

f est C1 sur R, donc continue et dérivable sur R, de dérivée continue. Ce n'est pas f qui pose problème, mais F.
Il faut d'abord montrer que F est continue sur R*, puis en 0.
On peut poser G une primitive de f sur R (qui existe puisque f est continue). Alors F(x)= ?

De là, on peut montrer que F est continue sur R*, puis en 0. On peut le montrer aussi en 0 avec les epsilon.

[Ainow]

Du coup en prenant G une primitive de f ça m'a donné F(x) =
vu que G est dérivable G est continue mais comme 1/2x est continue sur R* F est continue sur R*
Par contre pour ce qui est de 0 je sais pas comment m'y prendre

[Pseuda]

Bonjour,

En 0, on revient à la définition et on coupe en 2 : G(x)-G(-x)= G(x)-G(0)-(G(-x)-G(0)), le tout sur 2x. Chaque partie tend vers ? (avec un changement de variable de -x en t pour la 2ème).

[Ainow]

en réécrivant ce que vous me dites :


si x tend vers O alors G(x) - G(0) et G(-x)- G(0) tend vers 0 mais 2x aussi tend vers 0

[Pseuda]

en réécrivant ce que vous me dites :


si x tend vers O alors G(x) - G(0) et G(-x)- G(0) tend vers 0 mais 2x aussi tend vers 0

On a : .

Mais vers quoi tend , sachant que G est une primitive de f ?

[Ainow]

Ah oui du coup ça tend vers mais du coup si on fait la même chose pour
on trouve la même chose et du coup la limite en 0 vaut 0 ?

[Pseuda]

du coup si on fait la même chose pour on trouve la même chose et du coup la limite en 0 vaut 0 ?

Mais ça , si on fait le changement de variable t=-x, on obtient , qui tend vers quoi avec le moins devant ?

[Ainow]

Du coup j'ai lorsque t tend vers 0 ça tend vers du coup la somme des deux parties vaut f(0) quand on se rapproche de 0 .

[Pseuda]

Oui c'est ça, la limite de F(x) quand x tend vers 0 est f(0) (comme suggéré par pascal16 avec les epsilons), donc la fonction F peut être prolongée en 0 par F(0) = f(0).

Pour t'en convaincre, prends par exemple la fonction f(t)=cos(t).

[Ainow]

D'accord , merci beaucoup pour votre aide !