Exercice fonction ( démonstration )

[Rik95]

Bonsoir,

J'aurai besoin de votre aide pour un exercice de démonstration qui dit :

Soit f : [a, b]-->[a, b] une fonction continue.
Montrer qu'il existe c appartenant à [a, b] tel que f(c) = c.


Merci

[BiancoAngelo]

Bonsoir,

J'aurai besoin de votre aide pour un exercice de démonstration qui dit :

Soit f : [a, b]-->[a, b] une fonction continue.
Montrer qu'il existe c appartenant à [a, b] tel que f(c) = c.


Merci

La fonction f - Id ( c'est à dire x --> f(x) - x ) devrait t'aider

Sachant que tu peux raisonner par l'absurde, en supposant par exemple que f - Id ne s'annule pas sur [a;b]. Ensuite, on peut traduire ça par f - Id ne change pas de signe sur [a;b] car elle est continue.

Ce qui donne soit f(x) - x > 0 soit f(x) - x < 0 pour tout x de [a;b] et en particulier justement pour a et b...

Je te laisse rédiger.

[chombier]

Il y a en effet du (f - Id) et, je pense, du théorème de Rolle.

C'est un exercice ultra classique, tu devrais trouver plein de corrections ici et là

EDIT : Bah oui, du TVI, tout simplement, merci Arnaud :hum:

[Rik95]

Merci pour vos réponses, que signifie id au juste ? la fonction identité ?
dans ce cas la f - id est toujours égal a 0 non ? ( enfin je dis surement des bêtises car je n'ai pas bien compris comment marche cette fonction )

[arnaud32]

si f(a)=a ou f(b)=b c'est evident, sinon
f(a)-a > 0
f(b)-b < 0
ensuite tu utilises le tvi sur g definie par g(x)=f(x)-x

[Rik95]

Comment ça ?

[chombier]

Comment ça ?

Il faut travailleur sur la fonction g(x) = f(x) - x et y appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [a ; b].

Tu connais le théorème des valeurs intermédiaires ?

[BiancoAngelo]

Il faut travailleur sur la fonction g(x) = f(x) - x et y appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [a ; b].

Tu connais le théorème des valeurs intermédiaires ?

Sachant que c'est pareil que ce que j'ai dit.

Si tu considères g(x) = f(x) - x, alors g(x) = 0 signifie f(x) = x, c'est ce qu'on cherche.

Si tu supposes que g n'admet pas de racine sur [a;b], ça veut dire qu'elle est toujours du même signe, car continue (car si elle change de signe, alors le TVI nous annonce qu'elle passe par 0).

Donc si g(x) > 0 pour tout x, alors g(b) > 0, donc f(b) > b, impossible.
Maintenant, si g(x) < 0... g(a) < 0, donc f(a) < a, impossible.
(On rappelle ici que f est une fonction de [a;b] dans [a;b]).

On avait supposé que g n'admettait pas de racine, c'est donc faux.
Donc il existe c tel que g(c) =0, c'est à dire f(c) = c.

EDIT : C'est un chouilla plus long, mais j'aime bien le raisonnement par l'absurde Et en plus j'ai pas eu besoin de faire de disjonction de cas pour le cas f(a) = a et f(b) = b :ptdr: :zen:

[Rik95]

Je vois c'est asser simple enfaite, mais d'ou l'idée de considérer cette fonction g(x) = f(x) - x vous est elle venu ?

[chombier]

Je vois c'est asser simple enfaite, mais d'ou l'idée de considérer cette fonction g(x) = f(x) - x vous est elle venu ?

Ca c'est le talent :we:

Plus sérieusement, c'est difficile à dire.

1) Dans ce style (introduction de fonction auxiliaire pour appliquer le TVI), c'est l'exercice type, le premier qu'on fait. Ca marque (comme toi maintenant) et généralement on se souviens de la technique.

2) En tracant quelques fonction f qui vérifieent les hypothèses et la droite d'équation y=x, on peut avoir l'idée.

Ou on peut se dire "tiens, si je prouvais que f(x)-x s'annule, ça serait bon. J'en suis au chapitre sur le TVI, est-ce que je pourrais m'en servir pour prouver que g(x)=f(x)-x s'annule ?"

3) C'est la base de pas mal de théorèmes, par exemple c'est un peu comme ça qu'on démontre le théorème des accroissement finis à parti du théorème de Rolle (introduction d'une fonction intermédiaire comme différence de la fonction initiale et d'une fonction affine, et application du théorème de Rolle à cette nouvelle fonction).

A force d'en voir, d'en faire et d'en chercher, ça deviens naturel.

Il faut se rappeler l'adage : même si on ne trouve pas, plus on a cherché longtemps et exploré de pistes, mieux on se souviendra de la correction.

[BiancoAngelo]

Je vois c'est asser simple enfaite, mais d'ou l'idée de considérer cette fonction g(x) = f(x) - x vous est elle venu ?

On veut montrer qu'il existe c tel que f(c) = c, donc que f(c) - c = 0... :lol3:

[Rik95]

Je vois, merci ^^