Exercice famille sommable MP

[orelsin]

Bonjour,
Je suis un élève en MP et je bloque complètement sur cette exercice qui s'inscrit dans le cadre des familles sommables:

Montrer que

J'ai essayé de passer par des séries géométriques et d'appliquer le théorème de Fubini mais je reste complètement bloqué par les 2^n. Quelqu'un a-t-il une autre piste à me proposer ?
Merci d'avance.

[Skullkid]

Bonjour, chercher à faire apparaître des séries géométriques est en effet une bonne idée. Essaye pour commencer d'écrire sous une forme plus simple. Poser pourrait t'aider à y voir plus clair.

[Lostounet]

Bonjour,
Je suis un élève en MP et je bloque complètement sur cette exercice qui s'inscrit dans le cadre des familles sommables:

Montrer que

J'ai essayé de passer par des séries géométriques et d'appliquer le théorème de Fubini mais je reste complètement bloqué par les 2^n. Quelqu'un a-t-il une autre piste à me proposer ?
Merci d'avance.

Salut,

Tu peux constater que tout entier k>=1 s'écrit de manière unique sous la forme k=2^n *(2m+1).
Ceci est une conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique.

Tu peux commencer par développer z/(1-z) en utilisant la série géométrique des (z^k) indexée sur k.

Pour la somme de gauche, tu peux travailler avec la famille de complexes:

Indexée sur N^2.

Appliquer le théorème d'interversion de sommation de Fubini pour les séries absolument convergentes est une bonne idée. Je te laisse vérifier les hypothèses sur le disque de convergence.

Tu peux donc scinder la sommation des d'abord sur m et ensuite sur n.
Tu sommes z^(2^(n+1)*m) sur m qui est géométrique. Tu te retrouves donc avec la série des z^(2^n)/(1-z^(2^(n+1)) qui correspond à ce que tu cherches.

[Tuvasbien]

Pour . En appliquant ça à , on a . Il reste plus qu'à appliquer le théorème de Fubini.

[orelsin]

Salut !
Merci beaucoup pour vos réponses, je m'en suis sorti en appliquant une identité géométrique à la somme de gauche et je me suis aidé de la remarque de Lostounet pour conclure ( ce qui m'a permis de faire un petit peu d'arithmétique au passage ) :

Tu peux constater que tout entier k>=1 s'écrit de manière unique sous la forme k=2^n *(2m+1).
Ceci est une conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique.

Encore merci et bonne continuation !