Exercice espace vectoriel

[novicemaths]

Bonsoir

Voici ci-dessous un exercice d'espace vectoriel.

Notons l’ensemble des fonctions définies sur à valeurs dans .

1) Montrer que est un -espace vectoriel.

posons

2) Montrer que, la famille est libre de

3) Que dire de la dimension de ?

J'ignore comment le résoudre, je ne suis pas à habitué à ce type d'exercice.

Même mon livre d'algèbre ne m'aider.

A bientôt

[hussein515]

Bonjour,

Le 1) est très facile: l'addition dans est et la multiplication scalaire est . Donc les propriétés de la définition d'un ev se vérifient trivialement puisqu'elle reviennent à celles des réels. C'est fastidieux mais facile.

2) Considère une combinaison linéaire

(la fonction nulle) et évalue cette égalité successivement en . Tu tombes trivialement sur . Donc la famille est libre.

3) Puisque tu as une famille infinie de vecteurs libres, est de dimension infinie.