Exercice endormophisme/surjection canonique/composée

[Doraki]

1 et 4) Non ton cours ne définit pas fb ° p ("définir" ça veut dire complètement autre chose).

Il dit que si t'as une appli linéaire f : F -> G et si E est un sev de F, alors :
f(E) = {0} <=> il existe une appli linéaire fb : F/E -> G tel que f = fb ° p.

En l'occurence tu as une appli linéaire f' : E -> E/E1, et tu as bien f'(E1) = {0} donc il existe une appli linéaire fb : E/E1 -> E/E1 tel que f' = fb ° p. Que f' soit secrètement p ° f ou non, on s'en fiche complètement.

2) Un endomorphisme normalement ça désigne une appli linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même, donc c'est une erreur que de dire que f' est un endomorphisme. Par contre c'est évidemment une appli linéaire puisque la composée de 2 applis linéaires est toujours une appli linéaire.

3) Tu dois avoir quelquepart que p(E1) = {0} quasiment par définition de p. Donc f'(E1) = p ° f(E1) = p(f(E1)) qui est inclus dans p(E1) = {0}. Et comme {0} est inclus dans f'(E1), on a bien f'(E1) = {0}

[barbu23]

Bonsoir Maxime :

Peux tu réduire ton texte le maximum possible pour qu'on puisse comprendre ton problème ?

Voici comment on résout le problème :
Tu as tel que : .
Tu veux montrer que : induit , c'est à dire, tu cherches à construire une application naturelle à partir de tel que : . C'est simple :
On part de : tel que :
Tu considères ensuite la composée d'applications : tel que : et tel que . C'est à dire : défnie par :
Rappel :
En général, si est un espace vectoriel et est un sous espace vectoriel de et la surjection canonique, alors : :

Maintenant, si nous appliquons ce rappel à la composée de ton exercice, on obtient : : , car on a : , et puisque : , alors , car : pour tout , car par hypothèse : , car on sait que : : .

Donc, jusqu'ici, on a montré que : : .

Maintenant, on va appliquer, la proposition de ton cours :
[HTML]"Soit E et F deux k-espaces vectoriels, G un sous-espace vectoriel de E et p : E -> E/G la surjection canonique. Une application linéaire f : E -> F est de la forme  fb o p, où  fb : E/G -> F est une application linéaire, si et seulement si G C ker(f)."[/HTML]
Soit : avec ici : est l'ensemble de départ de l'application : définie par :
Alors, on applique la proposition çi dessus, car çi dessus, on est arrivé au fait que :
: , c'est à dire à : c'est à dire : ( car dans l'hypothèse de ta proposition, il faut vérifier : , n'est ce pas ? )
En appliquant la proposition de ton exo, on construit ainsi comme demandé et de la même manière par laquelle elle a été définit dans ton cours. Ici : c'est et c'est . :happy3:

Cordialement.

[barbu23]

Bonsoir Redecouverte :

Peux tu réduire ton texte le maximum possible pour qu'on puisse comprendre ton problème ?

Voici comment on résout le problème :
Tu as tel que : .
Tu veux montrer que : induit , c'est à dire, tu cherches à construire une application naturelle à partir de tel que : . C'est simple :
On part de : tel que :
Tu considères ensuite la composée d'applications : tel que : et tel que . C'est à dire : défnie par :
Rappel :
En général, si est un espace vectoriel et est un sous espace vectoriel de et la surjection canonique, alors : :

Maintenant, si nous appliquons ce rappel à la composée de ton exercice, on obtient : : , car on a : , et puisque : , alors , car : pour tout , car par hypothèse : , car on sait que : : .

Donc, jusqu'ici, on a montré que : : .
c'est à dire à : c'est à dire : ( Dans l'hypothèse de ta proposition, il faut vérifier : , n'est ce pas ? )

Maintenant, on va appliquer, la proposition de ton cours :
[HTML]"Soit E et F deux k-espaces vectoriels, G un sous-espace vectoriel de E et p : E -> E/G la surjection canonique. Une application linéaire f : E -> F est de la forme  fb o p, où  fb : E/G -> F est une application linéaire, si et seulement si G C ker(f)."[/HTML]
Soit : avec ici : est l'ensemble de départ de l'application : définie par :

En appliquant la proposition de ton exo, on construit ainsi comme demandé tel que : et de la même manière par laquelle elle a été définit dans ton cours en général. ( Regarde le cours ). Ici : c'est et c'est . :happy3:

Cordialement.

[Doraki]

Ben il suffit de l'écrire.

Bon je note e1barre e1' parce que e1b ça fait plutôt moche

Comme (e1...en) est une base de E, elle génère E ; et comme p est surjective, p(E) = E/E1 et donc (p(e1)...p(en)) = (e1'...en') génère E/E1.
Maintenant e1' = e2' = ... = ep' = 0 ; et donc (ep+1' ... en') génère E/E1

Par le théorème du rang appliqué à p, dim E1 + dim (E/E1) = dim E donc p + dim(E/E1) = n donc dim(E/E1) = n-p et donc (ep+1'...en') est une base de E/E1

Tu peux aussi montrer directement que (ep+1'...en') est libre : si ap+1...an sont des scalaires alors
ap+1 ep+1' + ... + an en' = 0 (de E/E1)
<=> ap+1 ep+1 + ... + an en est dans ker p (= E1)
<=> ap+1 ep+1 + ... + an en = 0 (puisque E2 et E1 sont en somme directe)
<=> ap+1 = ... = an = 0 ((ep+1...en) est une base de E2).

Ensuite maintenant que tu as des bases de E et de E/E1 il te suffit juste de regarder les matrices de f, de p ° f, et de fb ° p en fonction des blocs A B C et de la matrice de fb.

Dans les bases (e1...en) de E et (ep+1'...en') de E/E1, la matrice de p est (0p Id(n-p)) puisque p(e1) = ... = p(ep) = 0 et p(ep+1) = ep+1' ... p(en) = en'.

Donc la matrice de p ° f est obtenue en faisant la multiplication et tu dois trouver (0 B)
Ensuite si D est la matrice de fb alors la matrice de fb ° p est (encore en faisant la multiplication) (0 D)
Comme p ° f = fb ° p on en déduit donc que B = D = la matrice de fb dans la base (ep+1'...en')

[zygomatique]

salut

avec des notations plus simples donc un texte qui permette la compréhension et puisque l'alphabet compte 26 lettres

soit un endomorphisme avec et


soit e = f + g un élément de E avec f dans F et g dans G

alors h(e) = h(f) + h(g)

et puisque alors h induit une application par h*(e*) = (h(e))*

si p est la surjection canonique alors h* o p = p o h

donc h*(e*) = h* o p(e) = (h(e))* = p o h(e)

on a le schéma :: (ne pas tenir compte des pointillés nécessaires pour l'espacement)


...... h
E--------->E
| .............|
| p.........p |
| .............|
E/F ------>E/F
.......h*


si e = f + g et e' = f' + g alors p(e) = p(e') donc e* = e'* (e et e' sont dans la même classe modulo F)

donc h*(e*) = h*(e'*) = p o h(g)

h* existe et est bien définie

:lol3:

voir :: https://books.google.fr/books?id=PY5K7T7rAhIC&pg=PA19&lpg=PA19&dq=morphisme+de+groupe+et+surjection+canonique&source=bl&ots=wCU5csHyOS&sig=obGu6HnwBoaQvEfAzh-aFsOEn0k&hl=fr&sa=X&ei=fdbAVPz_JszraN_qgMAP&ved=0CE0Q6AEwBw#v=onepage&q=morphisme%20de%20groupe%20et%20surjection%20canonique&f=false (théorème 18 à adapter aux espaces vectoriels)

et aussi http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_factorisation qui donne les bases du cadre général

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