Exercice de diagonalisation.

[Scipion]

Bonjour à tous, j'ai devant moi une matrice 3x3 comme suit :

A = ( 2 0 -1 )
( 0 3 0 )
(-1 0 2 )

Il me faut déterminer toutes les valeurs du paramètre réel d telles que le système : A . vecteur (x) = d . vecteur (x) admet une inifinité de solutions.

J'ai trouvé comme réponse que l'équation ci-dessus admettait une infinité de solutions ssi det(A - (d * I)) = 0 (I est bien sûr une matrice identité).

Cependant, je ne vois pas d'où est-ce qu'on sort cette proposition, si qqn pouvait m'éclairer, merci.

[Monsieur23]

Aloha ;

Le nombres de solutions pour d est fini, c'est à d fixé que le nombres de x est infini.

Sinon, ton résultats provient du théorème de Cayley Hamilton.

[emdro]

Bonjour,

A . vecteur (x) = d . vecteur (x)
<=> A . vecteur (x) - d . vecteur (x) =0
<=>(A -d Id). vecteur (x)=0


Or si det(A - (d * I)) est non nul, ce système est un système de Cramer. Il admet donc exactement une solution, qui est d'ailleurs: x=vecteur nul.

Donc si tu veux une infinité de solution, il n'y a pas d'autre moyen que d'avoir det(A - (d * I)) =0.

Réciproquement, si det(A - (d * I)) =0, alors l'endomorphisme associé à cette matrice (A - (d * I)) n'est pas bijectif.
Comme on est en dimension finie, il ne peut-être injectif (sinon, il serait bijectif). Donc son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. Il est donc de dimension au moins 1 (c'est un sev). Il comporte alors une infinité de vecteurs qui sont tous solution de ton problème.