Exercice dérivation et continuité

[Joula]

Bonjour à tous !
J'ai un exercice à faire et je n'arrive pas à faire trois questions de celui-ci, voici l'énoncé:

Soit a un réel, f: [a,+∞[→R continue sur [a,+∞[ et dérivable sur ]a,+∞[ avec lim f(x)= f(a) quand x→+∞
On admet qu'il existe un unique ϕ∈]-π/2,π/2[ tel que a=tan(ϕ), on définie g:[ϕ,π/2]→R par ∀x∈[ϕ,π/2[, g(x)=f(tan(x)) et g(π/2)=f(a)
a) Montrer que g est continue sur[ϕ,π/2]
b) Montrer que g est dérivable sur ]ϕ,π/2[
c) Calculer g(ϕ)-g(π/2)

Pour la première je pensais dire que g était une fonction composée foh avec h(x)=tan(x) avec tan(x) dérivable sur ]-π/2,π/2[, et f dérivable sur[a,+∞[ et ainsi g serait dérivable sur ]-π/2,π/2[ ce qui impliquerait que g soit continue sur ]-π/2,π/2[ mais j'ai l'impression que je fais une bourde en utilisant cela...

Merci d'avance pour votre aide !

[hdci]

Bonjour,
Vous n'avez pas besoin d'arguer de la dérivabilité, puisque la composition de deux fonctions continues est une fonction continue.
Par contre pour la première question, le point crucial est la continuité en pi/2 puisque la fonction tangente n'est pas définie en pi/2. Vous devez donc calculer la limite de g quand x tend vers pi/2, et vérifier que cette limite est bien égale à g(pi/2) qui est donnée directement.

Par contre l'argument que vous donnez est celui pour la dérivée sur l'intervalle ouvert.

[Joula]

Merci pour votre réponse, je ne vois pas comment calculer la limite en π/2 , je suis quelques peu perdu par l'énoncé, on nous dit g(x)=f(tan(x)) et g(x)=f(a) donc f(tan(π/2)=f(a) donc tan(π/2)=a mais comme vous l'avez dit tan n'est pas définie sur π/2...

[hdci]

Oui, la fonction tangente n'est pas définie en pi/2.

Mais elle a une limite :



Cela vous permet de déterminer la limite de g en pi/2 :

[Joula]

D'accord merci pour votre aide, dois-je procédé de la même façon pour Φ? l'argument que j'ai énoncé est correct pour la question 2 ?

[hdci]

Pour Phi, il n'y a pas de problème particulier tan est définie et continue à droite en Phi, et f est définie et continue à droite en a (et comme la tangente est croissante on a bien l'inclusion de l'image de la tangente dans le domaine de définition de f, question qui n'était d'ailleurs pas posée apparemment).

L'argument de dérivabilité que vous aviez donné était correct pour la question 2 puisque tant est dérivable sur l'intervalle ouvert, et que f est dérivable sur l'image de cet intervalle ouvert.

La troisième question est assez facile.