Exercice de demonstration

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NinaMI
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Exercice de demonstration

par NinaMI » 21 Oct 2011, 11:57

soient x,y des réels, démontrer les inégalités suivantes:
1) |x|+|y|<|x+y|+|x-y|
2) 1+|xy-1|<(1+|x-1|)(1+|y-1|)
3) E(x)+E(b)Merci! :ptdr:



NinaMI
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1)+3)=sayez!

par NinaMI » 21 Oct 2011, 11:58

En fait, je n'arrive pas à trouver la deuxième! Les deux autres sayez c'est fait! merci pour votre aide! :)

Black Jack

par Black Jack » 21 Oct 2011, 13:12

Ce n'est sûrement pas "démontrer les inégalités", du moins si les inégalité sont strictes comme écrit.

par exemple pour la 2) : Si x = 2 et y = 3, 1+|xy-1|<(1+|x-1|)(1+|y-1|) n'est pas vérifiée (les 2 membres sont égaux).
*****

On peut diviser le problème en différents cas dépendant des signes respectifs de xy-1, de x-1 et de y-1

Je fait les premiers en exemple, et te laisse faire les autres


1+|xy-1|<(1+|x-1|)(1+|y-1|)
1+|xy-1| - (1+|x-1|)(1+|y-1|) < 0

1°)
Si x et y sont >= 1, l'inéquation devient:
1+xy-1 - (1+x-1)(1+y-1) < 0
xy - xy < 0 ----> pas de solution pour x >= 1 et simultanément y >= 1

2°)
Si x < 1 et y >= 1, l'inéquation devient:
1+|xy-1| - (1-(x-1))(1+y-1) < 0
1+|xy-1| - (2-x)y < 0
a) si xy >= 1, on a:
1+ xy-1 - (2-x)y < 0
2xy-2y < 0
et comme y > 0 -->
x - 1 < 0
x < 1 --> OK
Donc solution pour x < 1 et y >= 1 si xy >= 1

b) si xy <= 1, on a:
1- xy+1 - (2-x)y < 0
2- xy - 2y + xy < 0
2 - 2y < 0
y > 1
Donc solutions pour x < 1 et y > 1 et xy <= 1

En regroupant les cas 2a et 2b ci-dessus : Solutions pour x < 1 et simultanément y > 1


Reste à traiter les cas :
x < 1 et y < 1

x >= 1 et y < 1

...

:zen:

NinaMI
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pas ça!

par NinaMI » 21 Oct 2011, 13:33

mais ce n'est pas x et y qu'il faut trouver mais plutot demontrer les inégalités c.à.d que vraiment le coté gauche inferieur au coté droit!!!! :hein: desolé que vous aillez perdu du temps à cause d'un mal-entendu! :doh: :triste:

Black Jack

par Black Jack » 21 Oct 2011, 13:56

NinaMI a écrit:mais ce n'est pas x et y qu'il faut trouver mais plutot demontrer les inégalités c.à.d que vraiment le coté gauche inferieur au coté droit!!!! :hein: desolé que vous aillez perdu du temps à cause d'un mal-entendu! :doh: :triste:


Il n'y a pas de malentendu.

Si les inégalités sont strictes( = 1, l'inéquation devient:
1+xy-1 - (1+x-1)(1+y-1) toujours vérifié.

le 2°) était aussi toujours vérifié

Et il reste à étudier les 2 cas que j'ai indiqué en fin de message ...

:zen:

 

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