Exercice Concours Professeur des écoles - Mathématiques

[adimoi33]

Bonjour,

Je m'en remet à vous sur ce site. Il doit certainement y avoir des mathématiciens dans l'âme, ce qui n'est pas mon cas.
J'ai cet exercice à faire pour un TD. J'ai fait la partie 2 qui est une partie didactique. Or, après deux heures à tourner dans tous les sens, je ne trouve même pas un début de réponse pour la première partie. Je suis donc bloqué pour la progression de l'exercice, dès la question 3.

S'il vous plait, si quelqu'un peu m'apporter des éléments de réponse, ou simplement m'expliquer les démarches qui sont attendues. J'imagine que ça ne doit pas être trop complexe, mais pour moi c'est un véritable calvaire.
L'exercice est au dessous.
Merci d'avance pour vos réponses.

Adrien

Voilà l'exercice :

Partie 1

ABCD est un trapèze rectangle ayant pour bases [AB] et [CD] tel que (AD) perpendiculaire à (AB) et à (DC). L'unité de mesure étant le centimètre, on donne : AB = 6, AD = 8 et CD = 16.
1°) Réaliser la figure à l’échelle 1/2.
M étant un point qui décrit la diagonale [BD], on note BM = x (0<x<10). H est un point de [AB] et K un point de [AD] tels que AHMK soit un rectangle.
2°) Calculer BD.
3°) Calculer la valeur de x pour laquelle le point M appartient à la diagonale [AC]. On donnera d'abord x sous la forme d'une fraction irréductible et ensuite une valeur approchée au centième près par défaut.
4°) Démontrer que lorsque M décrit [DB], AH = 6 − 0,6x et que AK = 0,8x.
5°) Pour quelle(s) valeur(s) de x le rectangle AHMK est-il un carré ? On donnera d'abord x sous la forme d'une fraction irréductible et ensuite une valeur approchée au centième près par défaut.
6°) Exprimer l'aire du rectangle AHMK en fonction de x.
7°) La courbe donnée en annexe1 est la représentation graphique de l'aire du rectangle AHMK en fonction de x. Déterminer graphiquement pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire du rectangle AHMK est maximale. Calculer alors cette aire maximale.
8°) Quel pourcentage de l'aire du trapèze ABCD représente alors l'aire du rectangle AHMK ?
9°) Calculer pour x=3cm et x=7cm l'aire et le périmètre du rectangle AHMK. Que remarque-t- on?

[Pythales]

La question 4 est fausse, comme on peut le vérifier si x=0

[Lostounet]

Pourquoi Pythalès? On a bien AH=6 et AK=0 pour x = 0

Pour la question 3: Supposons M sur l'intersection des diagonales

A,M et C alignés dans cet ordre
B, M et D aussi

Alors thalès:
BM/MD=AM/MC=AB/CD

x/(BD-x) = 6/16

et on connait BD

[Pythales]

Au temps pour moi.
J'avais interverti H et K

[adimoi33]

Merci pour ces débuts de réponse.
Cependant, cela reste encore très flou pour moi ...

Donc pour la question 2, je suis parti sur l'idée de travailler avec le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABD, et je tombe bien sur BD = 10.

Pour la question 3, il faut donc utiliser Thalès, avec les droites parallèles (DC) et (AB).

Et ensuite ? (à partir de la question 4).

Merci !!

[Lostounet]

4) Pense au théorème de Thalès aussi:
Dans ABD, BM/BD = BH/BA

Donc x/10 = BH/6 Donc BH = 6*x/10 = 0.6x

Que vaut donc AH?

Essaye de réfléchir pour l'autre relation... quel triangle fait intervenir la grandeur recherchée ? Quelles parallèles utiliser?


5. AHMK est un rectangle, il faut pour qu'il soit un carré (et cela suffit) que Longueur = Largeur... Ici on connait la longueur et la largeur en fonction de x. On peut donc écrire une équation en x non?

[adimoi33]

Voilà ce que j'ai réalisé (ensuite je m'en suis sorti seul pour les autres parties car il y en avait trois.
J'ai du mal à terminer la question 3 seulement. Quelqu'un peut t'il m'aider et aussi vérifier l'exactitude de mes réponses ?

Encore merci pour votre aide qui m'a vraiment aidé à débloquer la situation !!

3) Supposons M sur l’intersection des diagonales.
A,M, et C sont alignés, et B,M, D sont alignés.
De plus, puisque ABCD est un trapèze rectangle, alors (DC) est parallèle à (AB)

Donc, d’après le théorème de Thalès, on peut écrire que :

BM/MD = AM/MC = AB/DC
BM/MD = AM/MC = 6/16
x/ (BD-x) = 6/16
x/ (10-x) = 6/16

Et là, je bloque pour le résultat final.
Je trouve que x = 10 - x*6 / 16.
Ce qui est très difficile à réduire, encore moins à donner une valeur approchée…

4) Puisque AHMK est un rectangle, alors (AK) est parallèle à (HM).
Donc, on peut écrire, d’après le théorème de Thalès :

BH/AB = BM/BD = HM/AD
BH/6 = x/10
BH = 0.6x

Et donc AH = AB - BH
AH = 6 - 0,6x


Puisque AHMK est un rectangle, alors (AB) est parallèle à (KM)
On peut donc écrire, d’après le théorème de Thalès :

AK/AD = BM/BD = AB/KM
AK/8 = x/10
D’où AK = 8x/10 = 0,8x

5) On peut écrire l’équation :

6 - 0,6x = 0,8x
6 = 0,8x + 0,6x
1,4x = 6
x = 6/1,4 = 30/7 soit 4,29 (arrondi au centième)

6) Exprimons l’aire A du rectangle AHMK en fonction de x

A = Longueur*Largeur
A = (6 - 0,6x) * 0,8x


7) Par lecture graphique, l’aire du rectangle AHMK est maximale pour toute valeur telle que 4,8 ˂ x ˂ 5,2

Pour trouver l’aire maximale A1 de AHMK en fonction de x, il suffit de remplacer x par une de ces valeurs dans A.

A = A1 = 6 - (0,6*5) * 0,8*5
A = (6 - 3) * 4
A = 12

8) Il nous faut tout d’abord l’aire A3 du trapèze ABCD

A3= 1/2 * (6+16) * 8
A3 = 1/2 * 22 * 8
A3 = 11 * 8
A3 = 33 cm2

Il suffit de trouver le pourcentage que représente 12 cm2 par rapport à 33cm2.

12*100 / 33 = 36,37 % (arrondi au centième près).

[Lostounet]

As-tu oublié que
A/b = c/d équivaut à a*d=c*b?

[adimoi33]

Je viens de trouver la solution avant de lire ta réponse ^^

16x = 60 - 6x
16x + 6x = 60
22x = 60
x = 60/22 = 30 / 11 = 2,73 (arrondi au centième).

Les autres réponses te semblent correctes ?
Merci !!!