J'ai un léger souci, ca fait plusieurs jours que j'essaye de traiter cet exercice sans réussir a faire quoi que ce soit, pourrais je avoir de l'aide svp? Merci
On désigne par n un entier naturel non nul et a strictement positif.
On se propose d'étudier les racines de l'équation.
(En): Somme allant de 0 à 2n (1/x+k)=a
soit 1/x + 1/(x+1)+ 1/(x+2)+...+ 1/(x+2n)=a
A cet effet, on introduit la fonction fn, de la variable réelle x définie par: fn(x)=1/x + 1/(x+1)+ 1/(x+2)+...+ 1/(x+2n)-a
I.Etude d'un cas particulier:
Pour cette question seulement, on prend a=11/6 et n=1.
1) Représentez la fonction f1 relativement à un repère orthonormal du plan.
2) calculer f1(1), puis determinez les racines de (E1).
(on donne racine de 37=6.08 à 10^-2 près par défaut)
II. Denombrement des racines de (En):
1) Précisez le domaine de définition de fn. Dressez le tableau de variations de fn sur l'intervalle "crochet ouvert"k,k+1"crochet ouvert" où k appartient a [-2n,-2n+1,...,-1]
2) justifiez l'existence de racines de l'équation (En) et en déterminer le nombre.
III. Equivalent de la plus grande des racines de (En):
On note xn la plus grande des racines de (En).
1) justifier que xn>0.
2)Demontrer que pour tout réel x>1
1/x 2n/(exp a-1)
4) Quelle est la limite de Xn, puis la limite de ln (1 + 2n/xn), lorsque n tend vers + l'infini?
5) Prouver enfin l'existence d'un réel t que l'on exprimera en fonction de a, tel que l'on ait, au voisinage de l'infini, l'équivalent suivant:
xn équivalent en n qui tend vers + infini à t.n
Merci à tous!