Exercice CCP: fonction sur R2

[Darko]

J'ai besoin d'aide pour comprendre cet exercice, tiré des CCP 2007, épreuve de Maths 1 pour les MP.

On considère une fonction de R2 sur R définie par
f(x,y)=(x+y)/[(1+x^2)(1+y^2)]

a) On pose F=[0,1]X[0,1], justifier que la fonction f est bornée sur F et y atteint sa borne supérieure. On pose alors M=sup f(x,y) pour (x,y) appartenant à F.

D'après moi: F est un compact de R2, et f est définie et continue sur R2, donc sur F. f est donc bornée sur F.

Pour la suite de la question j'ai un petit problème de compréhension: "f y atteint sa borne supérieure"

Je pense que la question est de montrer que la borne supérieure de f sur R2 est atteinte sur F. Mais parmis mes collègues il y a eu certains désacords. Qu'en pensez vous?

Si c'est moi qui avait raison, comment faire pour montrer que la borne sup de f est atteinte sur F?

b) Montrer que si la borne sup est atteint en un point de l'ouvert
Oméga=]0,1[X]0,1[ alors nécéssairement M=3V3/8 (avec V3 la racine carrée de 3).

La j'ai aucune idée de comment procéder.

Merci d'avance!

[alben]

Bonjour,

Comme tu l'as écrit, l'espace de départ est compact. Or l'image d'un compact par une application continue est un compact dans l'espace d'arrivée s'il est séparable.
Cela signifie que f(F) est un fermé dans R et que ses bornes sont bien atteintes par au moins un couple (x,y).
pour l'autre question, il te suffit de dériver et de calculer le maxi local puisqu'il n'est pas sur les bords !

[Darko]

Pour la question a) il est évident que la borne sup de la restriction de f à F est atteinte en un point de F, mais ce que j'avais compris de la question (Justifier que f est bornée sur F et y atteint sa borne sup) c'est qu'il fallait montrer que la borne sup de f sur R2 est atteinte dans F.

C'est-à-dire q'il y a dans F un couple (x,y) pour lequel la fonction f atteint son maximum global.

Vous penser que c'est possible de comprendre ça comme ça??

Pour la b) je trouve que le point (1/V3,1/V3) est critique (les dérivées partielles de f par rapport à x et à y s'annulent en ce point).
Que devrais-je faire pour montrer que ce point est bien un maximum?

[alben]

Je pense que ton interprétation ne tient pas. Il est demandé de justifier, pas de calculer. Il se trouve que le maxi global est atteint dans F mais c'est un peu par hasard. Prouver cela suppose l'étude complète de la fonction sur R² et va au delà d'une simple justification.

[Darko]

Merci, c'est énervant pour moi, mais c'est vrai que c'était une question de bon sens!

Pour la b): Montrer que si la borne sup est atteint en un point de l'ouvert
Oméga=]0,1[X]0,1[ alors nécéssairement M=3V3/8 (avec V3 la racine carrée de 3).

Est-ce qu'une rédaction du type: "Si f admet un maximum sur Oméga, alors f admet un point critique sur Oméga et comme le seul point critique sur Oméga est (1/V3,1/V3), alors M=f(1/V3,1/V3)=3V3/8" est suffisante?

Et est-ce que vous pouriez m'eclairer: comment montrer qu'en ce point, la fonction admet bien un maximum?

Merci.