Exercice de calcul différentiel (niveau L3)

[issoram]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour un exercice de calcul différentiel dont voici l'énoncé








Q. a) j'applique l'inégalité des accroissements finis pour montrer que g est contractante. L'injectivité de f suit par une inégalité de normes.
Q. b) je ne vois ni le but de la question dans l'exercice, ni l'inégalité de normes qui me permettrait de conclure??
Q. c) Application quasi directe du théorème du point fixe: ok
Q. d) Je suppose qu'il faut utiliser le théorème d'inversion locale. Mais je ne vois pas comment démontrer que Df(x) est bijective pour tout x.

Voilà, merci d'avance de votre aide pour les questions b) et d)

Bonne soirée à tous.

[Ben314]

Salut,
Pour la b), il suffit de voir que et que pour conclure.

Pour la d), tu as évidement donc, si tu as donc ce qui, vu que n'est possible que pour c'est à dire .
Donc : est injective donc bijective.

Sinon, concernant la fin, je me demande s'il n'y a pas un problème d'énoncé vu que, pour pouvoir utiliser le théorème d'inversion locale, il faut non seulement que la fonction soit différentiable (c'est Ok ici) mais il faut même qu'elle soit de classe (pas Ok . . .)

[issoram]

Bonjour,

Je te remercie pour les indications qui m'ont permis de conclure.

Pour la b), ok mais à quoi sert cette question dans cet exercice?

Pour la d), on a:


Donc est continue et par suite, de classe non?

[Ben314]

Ben non :
Là ce que tu montre, c'est que, pour tout l'application linéaire est continue (et ça ne sert pas à grand chose vu qu'en dimension finie toutes les applications linéaires sont continues . . .)
Alors que pour montrer que est de classe ce qu'il faut montrer c'est que l'application (non linéaire en général) est continue (où est l'ensemble des endomorphismes de qu'on peut identifier à l'ensemble des matrices carrées à coefficients réels).
Et si on veut écrire ça avec des quantificateurs, ça signifie que ce qu'on doit montrer c'est que :

Sachant que se "développe" en

Bref, pour prendre le cas simple où , l'hypothèse de l'exercice c'est que est dérivable sur avec pour tout et c'est clairement insuffisant pour en déduire que est continue : il y a des contre exemples classiques. (alors que toi, ce que tu montre dans ce contexte, c'est que pour tout réel fixé, l'application est continue : pas bien pertinent ni bien utile, non ?)

[issoram]

Tout à fait. Tu as raison.
Merci pour les explications détaillées.
L'énoncé doit donc comporter une erreur...