Exercice base de sous espace vectoriel

[novicemaths]

Bonjour

Encore un exercice de sous espace vectoriel.

Voici un ensemble, je souhaite démontrer que c'est un sous espace vectoriel et je cherche la base de ce sous espace vectoriel.



1) Démontrons que c' est un sous espace vectoriel.



On considère et
alors et
donc
ainsi

Si et alors
donc d'où

b) Cherchons la base de

On a x+y-z=0

Donc



est bien un sous espace vectoriel de base 2

A bientôt

[hdci]

Bonjour,

Pour la première partie (démonstration "espace vectoriel"), c'est exact.

Pour la seconde partie, cela ne marche pas. Tout d'abord, je ne comprends pas le système

On a x+y-z=0

Donc

Pourquoi y=-y ? Cela implique immédiatement y=0, or l'espace vectoriel comporte des vecteurs dont la composante y n'est pas nulle... (par exemple, (1;-1;0) vérifie bien 1+(-1)-0=0
La ligne "z=z" est inutile, car il est bien évident que tout nombre est égal à lui-même. Enfin, la base que tu trouves contient deux vecteurs dont la composante en z (la troisième) est nulle... Donc tous les vecteurs auraient une composante en z nulle ? Contre-exemple : (1;0;1) vérifie 1+0-1=0.

La dimension est bien 2 ; en effet, il y a trois coordonnées, mais il y a une unique relation entre ces trois coordonnées
Cela veut dire qu'on peut écrire l'une de ces composantes en fonction des deux autres : en particulier, z=x+y.

Donc si je prends un vecteur en fixant les deux premières coordonnées, la troisième est imposée.

Il s'agit donc de trouver une base en se basant uniquement sur x et sur y : le premier vecteur est obtenu, par exemple, en fixant x=1 et y=0 (ce qui fera z=1+0=1), et le second, en fixant x=0 et y=1 (donc z=0+1=1).
D'où ces deux vecteurs formant la base

[novicemaths]

Bonsoir

J'ai du mal comprendre le cours

Vu que l'on ne peut pas faire appel au système linéaire, voici mon raisonnement.



Après, je suis perdu avec y et z pour déterminer les vecteurs.


A bientôt

[hdci]

Attention, il y a une erreur ici

A droite, ce n'est pas MOINS z, mais PLUS z :

Avoir écrit est également un autre moyen : au lieu d'exprimer z en fonction de x et de y, tu exprimes x en fonction de y et de z, mais cela revient au même.

Tu peux alors construire la base ainsi : si est un vecteur de l'espace, comme , alors on a, en remplaçant x par son expression ;



Partant de là, on peut "séparer" en somme de vecteur, en ne conservant que les y dans un vecteur et les z dans l'autre :



Il n'y a plus qu'à factoriser



Et on a maintenant une base constituée des deux vecteurs qui sont


Ce ne sont pas exactement les deux mêmes que ceux que j'avais indiqué ici

D'où ces deux vecteurs formant la base

Mais on peut voir aisément qu'on passe d'une base à l'autre par combinaison linéaire :

[novicemaths]

Bonsoir

voici un nouvel sous espace vectoriel : 2x-y+z = 0

J'ai déterminé les vecteurs suivant.



Pourriez-vous me dire où sont mes erreurs ?

Merci !

A bientôt

[Vassillia]

Bonjour novicemaths,
Première chose à vérifier, est-ce que les coordonnées de tes vecteurs vérifient bien l'équation ?

[novicemaths]

Vous voulez dire 2.(1)-1.2+0 =0 ?

[Vassillia]

Oui donc ce vecteur est correct et l'autre ?

[novicemaths]

2.(0)-1.2+1 n'est pas égale à 0, je crois que j'ai fait une erreur d’inattention.
2.(0)-1.1+1 = 0


Donc, les vecteurs sont .

J'ai des doutes !

A bientôt

[Vassillia]

Et bien oui, pourquoi avoir des doutes ?
Je le refais avec toi 2x-y+z=0 <=> y=2x+z
- si x=1 et z=0 alors y=2
- si x=0 et z=1 alors y=1

On peut trouver une autre base en écrivant l'équation autrement ce qui revient à faire des combinaisons linéaires, essaye si tu veux.