Exercice d'anlyse

[infernaleur]

Bonjour,
Je bloque sur plusieurs questions de l'exercice suivant :

Soit f une fonction de dans telles que et qui admet une dérivée positive continue et strictement croissante sur R+

On a montré que pour tout x positif (d'ailleurs pour cette question j'ai utiliser le fait que f' est dérivable comme elle est continue et strictement croissante sur sa ne serait pas une escroquerie ?)

on en a déduit que la fonction :
de dans tels que est strictement croissante.

Maintenant je dois montrer que pour tout x positif mais je n'y parviens pas.

Merci de votre aide !

[Ben314]

Salut,
On va commencer par ça :

On a montré que pour tout x positif (d'ailleurs pour cette question j'ai utiliser le fait que f' est dérivable comme elle est continue et strictement croissante sur sa ne serait pas une escroquerie ?)

Qui est effectivement une "escroquerie", c'est à dire que c'est clairement faux : une fonction affine par morceaux (et continue) style x->x sur [0,1] puis ->2x-1 sur [1,+oo[ est continue, strictement croissante et non dérivable en x=1.

Une preuve correcte (parmi d'autres) consisterais à dire que, pour , c'est évident et que, pour , on a pour un certain (théorème des accroissements finis).
Or, comme est strictement croissante et que , on a .

Ensuite,

Maintenant je dois montrer que pour tout x positif . . .

Indication : Montre plutôt que (ce qui est plus fort que ce qui est demandé)

[infernaleur]

Ok merci, et c'est bon j'ai réussi à montrer cela encore avec théorème des accroissements finis.

Maintenant j'aurais plusieurs autres questions si vous avez encore le temps ^^

Soit f une fonction définie comme avant mais maintenant on a en plus et
On considère la fonction de R dans R définie par

1)On veut montrer que admet un maximum atteint en unique réel positif ,
j'avais fait comme pour la partie d'avant en dérivant deux fois mais malheureusement on ne peut pas ^^
Sinon j'ai utilisé le fait que donc w' est strictement positif ssi .
Donc le maximum est atteint en (on a le droit de faire sa car f' est strictement croissante donc d'après le théorème de la bijection continue la bijection réciproque de f' est bien définie et de plus on sait aussi que f et ont même sens de variation)
l'unicité provenant de la stricte croissance de la bijection réciproque de f'.

On considère deux fonctions de R+ dans R définis par et
2/ montrer que est continue et que

Pour sa j'ai utilisé encore le fait que que alors


3)Dans cette question t est un réel strictement positif et h vérifie

a)Montrer qu'il existe un réel compris entre t et t+h tel que :

Sa me fait penser à un joli taux d'accroissement mais j'arrive juste à :
avec quand tend vers mais je bloques ensuite

Merci encore pour votre aide

[Ben314]

Pour le1), c'est nickel.
Par contre ça :

On considère deux fonctions de R+ dans R définis par et

ça a pas de sens : , c'est un réel qui dépend de : c'est l'abscisse du max de la fonction .
Donc de "poser" , ça a pas le moindre sens et c'est évidement .
Ensuite, ben tu as toi même écrit que donc la fonction , en fait, c'est la bijection réciproque de et la continuité de provient du théorème qui dit que la bijection réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est elle même continue et strictement monotone. (et la valeur de en 0 et en +oo se déduit immédiatement de celle de en 0 et +oo)

3)Dans cette question t est un réel strictement positif et h vérifie
a)Montrer qu'il existe un réel compris entre t et t+h tel que :

Là, c'est tout bête :
Le théorème des accroissement finis te dit que pour un certain compris entre et .
Et, comme est strictement croissante, cela signifie que est compris entre et .

[infernaleur]

Merci je me disais bien pour le phy(t) mais je n'étais pas sur donc j'ai laissé comme c'était écrit dans l'énoncé.
J'ai décidément du mal avec le théorème des accroissement finis ....
Merci encore !