Exercice d'analyse merci d'avance

[jbvodka]

Bonjour à tous,
voilà je bloque sur cet exercice depuis un bon moment donc si quelqu'un peut me venir en aide merci d'avance.
On se propose d'étudier la fonction f définie sur [0,+inf[ par
f(x)={0 si x=0 et (xlnx)/(x+1) si x>0
1) Déterminer les limites de f en 0 et en +inf.
2)Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur l'intervalle [0,+inf[.
Donner l'expression de la dérivée f' là où elle existe.
3) a) Montrer que l'équation lnx+x+1=0 admet, sur l'intervalle ]0,+inf[, une solution unique qu'on notera @.
b) Donner un encadrement de @ d'amplitude 10^-2. Vérifier que f(@)=@

[Timothé Lefebvre]

Bonjour, merci de modifier ton message pour le rendre conforme au règlement, particulièrement en terme de politesse, merci bien.

[Clembou]

Bonjour à tous,
voilà je bloque sur cet exercice depuis un bon moment donc si quelqu'un peut me venir en aide merci d'avance.
On se propose d'étudier la fonction f définie sur [0,+inf[ par
f(x)={0 si x=0 et (xlnx)/(x+1) si x>0
1) Déterminer les limites de f en 0 et en +inf.
2)Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur l'intervalle [0,+inf[.
Donner l'expression de la dérivée f' là où elle existe.
3) a) Montrer que l'équation lnx+x+1=0 admet, sur l'intervalle ]0,+inf[, une solution unique qu'on notera @.
b) Donner un encadrement de @ d'amplitude 10^-2. Vérifier que f(@)=@

Indications :

1) Il faut calculer :



ensuite pour , on pourra utiliser un truc comme les croissances comparées.

2) Continuité en 0 surtout et dérivabilité (taux d'accroissement je pense) en 0. (j'espère que tu sais faire ça)

3) a) On montre que est strictement croissante (ou décroissante) sur l'intervalle et par les valeurs intermédiaires (ou ses dérivées), on peut conclure.