Exercice Algèbre : Noyau et Image

[syllabb]

Bonjour, je bloque sur l'exercice suivant :

"Dans IR^4, on considère les vecteurs f1=(1,2,0,-1), f2=(0,1,1,0), f3=(1,3,1,-1), f4= (2,3,-1,-2) ainsi que sa base canonique B=(e1,e2,e3,e4).
On considère alors l'unique endomorphisme f de IR^4 qui envoie ei sur fi pour i=1,2,3,4.
Trouver une équation cartésienne puis une base de Ker(f) et de Im(f)"


Si j'ai bien compris, on considère f(1,0,0,0)=(1,2,0,-1) , f(0,1,0,0)=(0,1,1,0), f(0,0,1,0)= (1,3,1,-1) et f(0,0,0,1)=(2,3,-1,-2)

Je sais de plus que (x,y,z,t) appartient à Ker(f) f(x,y,z,t)=0

J'ai trouvé la matrice de cette application :
1 0 1 2
2 1 3 3
0 1 1 -1
-1 0 1 -2

Et puis après mes calculs je me retrouve avec le système suivant :
( x+z+2t = 0
( y+z-t +0

donc Ker(f)=((x,y,z,t) l x+2+2t=0 , y+z-t=0)

Pouvez vous m'expliquer comment determiner une base de Ker(f) à partir de là ? :we:



Merci d'avance pour votre aide

[zygomatique]

salut

il suffit d'aller voir :: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-602797.html

[Ben314]

C'est... bête comme choux....
Les éléments de Ker(f) c'est donc les (x,y,z,t) tels que x+z+2t=0 et y+z-t=0.
Tu "résoud" ce système, c'est à dire que tu l'écrit de façon à montrer qu'on peut prendre certaines variables "au pif" puis qu'on a pas le choix pour les autres.
Ici, par exemple, on peut écrire x=-z-2t et y=-z+t qui signifie qu'on a "deux degrés de liberté" : on peut prendre z et t au pif puis on n'a plus le choix pour x et y.
Aprés, LA astuce, c'est de rajouter à ces deux équation les équations super inintéressantes z=z et t=t de façon à écrire que les équations sont équivalentes à :
(x,y,z,t) = (-z-2t,-z+t,z,t) = z(-1,-1,1,0) + t(-2,1,0,1) avec z et t quelconques

Et pouf, ça y est, tu as ta base...

[adrien69]

J'ai trouvé la matrice de cette application


Et puis après mes calculs je me retrouve avec le système suivant :
( x+z+2t = 0
( y+z-t +0

Autant je m'en fous que tu postes sur plusieurs forums, autant c'est pas super honnête ça...

[syllabb]

Merci de ton explication Ben, en effet c'était pas si compliqué mais j'ai bêtement pas pensé à z=z et t=t !