Exemple [Série harmonique alternée]

[yoshi13]

Bonjour à tous,

Je regarde l'exemple [Série harmonique alternée] sur ce lien:

http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php? ... rtie=78536

Je ne comprends pas la première égalité, où l'on passe de la somme de 1 à n

à la somme de (-1)^{k-1} intégrale de 0 à 1 de t^{k-1}

je sais qu'il y des rapports entre séries et intégrales.
Je vois à peu près où ils veulent en venir mais en partant de la somme je n'arrive pas à retrouver l'expression avec la somme d'intégrale de 0 à 1.

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,

[yoshi13]

Salut,

Je l'ai fait plus tôt et je me suis emmêlé avec le fait que l'on intègre par rapport à t, et que la somme se fait par rapport à k, ce qui m'a empêché de voir le "1/k" car j'écrivais 1, -1/2, 1/3 etc

bref, encore une fois merci ben!

[yoshi13]

Salut,

Re salut,

j'ai une autre question sur ce sujet, je me demandais comment on raisonne pour réécrire cette série sous la forme avec l'intégrale.

Car en partant de l'intégrale comme tu me l'as proposé, on voit que cette intégrale de 0 à 1 donne 1/k.
Donc en partant de 1/k , comment on peut retrouver cette intégrale?

J'ai essayé mais sans success, il y a une technique? Une definition à appliquée? Est-ce une astuce? Ou encore est-ce du à une certaine expérience?

Merci d'avance

[Ben314]

Déjà, il faut bien comprendre que, si A=B alors B=A, donc montrer que 1/k=intégrale... ou bien montrer que intégrale...=1/k, ben c'est complètement parfaitement totalement la même chose.

Par contre, un question éventuellement intéressante c'est de savoir, partant de la série harmonique alternée, qu'est ce qui peut inciter à écrire un truc aussi bizarre que 1/k=intégrale... qui donne quand même franchement l'impression de rendre le truc plutôt plus compliqué que ce qu'il était avant.

Et là, il y a des tas de trucs qu'on peut évoquer :
Déjà, on peut toujours dire qu'on fait ça parce que... ça permet de conclure, c'est à dire de trouver la limite.
Et effectivement, là, il y a l'expérience qui compte beaucoup ainsi que le fait "d'anticiper" les calculs, c'est à dire de voir à l'avance que si on fait ça ou ça, on aura un résultat de ce type là ou d'un autre type et donc de voir pas mal à l'avance que tel ou tel calcul ne sert à rien dans le contexte présent.
Mais si tu débute en ce qui concerne les séries, je vois pas trop comment un truc pareil pourrait te venir à l'esprit (quand tu aura vu la notion de séries entières, ça deviendra relativement naturel de faire ça)

[yoshi13]

Déjà, il faut bien comprendre que, si A=B alors B=A, donc montrer que 1/k=intégrale... ou bien montrer que intégrale...=1/k, ben c'est complètement parfaitement totalement la même chose.

Par contre, un question éventuellement intéressante c'est de savoir, partant de la série harmonique alternée, qu'est ce qui peut inciter à écrire un truc aussi bizarre que 1/k=intégrale... qui donne quand même franchement l'impression de rendre le truc plutôt plus compliqué que ce qu'il était avant.

Et là, il y a des tas de trucs qu'on peut évoquer :
Déjà, on peut toujours dire qu'on fait ça parce que... ça permet de conclure, c'est à dire de trouver la limite.
Et effectivement, là, il y a l'expérience qui compte beaucoup ainsi que le fait "d'anticiper" les calculs, c'est à dire de voir à l'avance que si on fait ça ou ça, on aura un résultat de ce type là ou d'un autre type et donc de voir pas mal à l'avance que tel ou tel calcul ne sert à rien dans le contexte présent.
Mais si tu débute en ce qui concerne les séries, je vois pas trop comment un truc pareil pourrait te venir à l'esprit (quand tu aura vu la notion de séries entières, ça deviendra relativement naturel de faire ça)

Merci pour ta réponse Ben!
Oui j'ai débuté le chapitre sur les séries ce semestre, ce qui m'étonne c'est que tout se passe bien pour les intégrales généralisées, mais les suites et séries je bute.
J'ai l'impression qu'il y a des pièges partout et même quand je fais un truc qui m' a l'air cohérent, il arrive ( souvent ) que je sois en fait complètement à côté de la plaque...
Egalement je gère très mal les DL, cad savoir quand les faire et à quel ordre, puis je ne sais jamais quoi faire des petit o, j'ai constater en TD qu'ils peuvent être soit négligés soit au contraire être très important!