Exemple de fonction (Weierstrass..)

[Anonyme]

Bonsoir,

Petite question sur cet exercice :

Soit une fonction f continue f : [0, infini) --> R, sa limite en +infini est 2. De plus, f(0) = 1.

Dans un premier temps j'ai démontré qu'elle était bornée grâce au théorème de weierstrass, bornée sur [0, x0].

Ensuite, j'ai montré qu'elle prenait un minimum sur [0, infini), en effet vu qu'elle est bornée sur [0, x0], on peut l'encadrer par un min et un max sur cette intervalle (je ne détaille pas tout, mais vu que ça c'est bon selon moi je passe vite), et vu que [0, x0] C [0, infini], ma fonction prend donc bien un minimum sur [0, infini].

Pour la dernière question, on me demande de donner un exemple de fonction comme celle là, mais qui n'a pas de maximum sur |0, infini). Là je cafouille un peu..
Si ma fonction est bornée comme je l'ai montré, elle a au moins toujours un maximum sur l'intervalle où elle est bornée non ?

Je passe sûrement à côté d'un truc..

Merci d'avance pour votre aide.

[Yann64]

essaie 1-exp(-x) qui si je ne me trompe pas admet 1 comme limite en +l'infini, mais qui n'a pas de maximum sur [0, +l'infini[, en fait 1 est un sup, mais pas un max.

[Kikoo <3 Bieber]

Bonsoir,

Petite question sur cet exercice :

Soit une fonction f continue f : [0, infini) --> R, sa limite en +infini est 2. De plus, f(0) = 1.

Dans un premier temps j'ai démontré qu'elle était bornée grâce au théorème de weierstrass, bornée sur [0, x0].

Ensuite, j'ai montré qu'elle prenait un minimum sur [0, infini), en effet vu qu'elle est bornée sur [0, x0], on peut l'encadrer par un min et un max sur cette intervalle (je ne détaille pas tout, mais vu que ça c'est bon selon moi je passe vite), et vu que [0, x0] C [0, infini], ma fonction prend donc bien un minimum sur [0, infini].

Pour la dernière question, on me demande de donner un exemple de fonction comme celle là, mais qui n'a pas de maximum sur |0, infini). Là je cafouille un peu..
Si ma fonction est bornée comme je l'ai montré, elle a au moins toujours un maximum sur l'intervalle où elle est bornée non ?

Je passe sûrement à côté d'un truc..

Merci d'avance pour votre aide.

Salut,

J'espère ne pas dire n'importe quoi en te proposant une fonction qui tend vers 2 en l'infini par valeurs inférieures : Par exemple, prenons la restriction de x -> 2*tanh(x) à R+...

PS : je t'ai dit n'importe nawak Ma fonction ne satisfait pas la condition f(0)=1
Donc tu peux prendre celle de Yann qui sera la restriction à R+ de x -> 2-exp(-x)

[Anonyme]

[quote="Kikoo 2*tanh(x) à R+...

PS : je t'ai dit n'importe nawak Ma fonction ne satisfait pas la condition f(0)=1
Donc tu peux prendre celle de Yann qui sera la restriction à R+ de x -> 2-exp(-x)[/quote]

Merci pour les réponses, mais je ne m'attendais pas vraiment à recevoir des fonctions, mais plutôt quelques explicaitons..

[Kikoo <3 Bieber]

Je n'ai rien d'autre à te dire que "ça se voit" ^^

Tu cherches une fonction qui tend vers 2 par valeurs inférieures (qui n'admet donc pas de max sur R+), de préférence en étant parfaitement monotone (ici donc on peut penser à une fonction strict' croissante sur l'intervalle d'étude) et qui satisfait les autres conditions de continuité, etc.
Par intuition, on se fabrique une image d'une fonction qui marche et on essaye de se rappeller si une expression nous vient en tête. C'est en tout cas ce que j'ai fait, même si je me suis trompé sur un endroit.

Tu peux justifier cette démarche sur la feuille, mais je ne l'ai pas fait de manière très rigoureuse (c'est-à-dire dans ma tête).

PS : lapsus, il s'agit de fonction et non pas de suite.

[Anonyme]

Je n'ai rien d'autre à te dire que "ça se voit" ^^

Tu cherches une fonction qui tend vers 2 par valeurs inférieures (qui n'admet donc pas de max sur R+), de préférence en étant parfaitement monotone (ici donc on peut penser à une fonction strict' croissante sur l'intervalle d'étude) et qui satisfait les autres conditions de continuité, etc.
Par intuition, on se fabrique une image d'une fonction qui marche et on essaye de se rappeller si une expression nous vient en tête. C'est en tout cas ce que j'ai fait, même si je me suis trompé sur un endroit.

Tu peux justifier cette démarche sur la feuille, mais je ne l'ai pas fait de manière très rigoureuse (c'est-à-dire dans ma tête).

PS : lapsus, il s'agit de fonction et non pas de suite.

Hum ah ok, pas vraiment de lien direct avec les deux autres questions de l'exos alors.. Je comprends mieux.

Merci bien pour ta réponse en tout cas . Je remercie également Yann bien sûr.

A bientôt

[Anonyme]

@Vie89

Tout ce que tu peux dire (à cause de la continuité) c'est que cette fonction est bornée sur [0, infini

Entre 0 et +infini cette fonction peut être "quelconque" c'est à dire
- soit strictement croissante
- soit strictement croissante puis strictement décroissante
- soit "osciller" autour de 2 en +infini

...etc....

[Anonyme]

@Vie89

Tout ce que tu peux dire (à cause de la continuité) c'est que cette fonction est bornée sur [0, infini

Entre 0 et +infini cette fonction peut être "quelconque" c'est à dire
- soit strictement croissante
- soit strictement croissante puis strictement décroissante
- soit "osciller" autour de 2 en +infini

...etc....

Salut ptitnoir,

Merci pour la réponse .

[Anonyme]

@Vie89

Juste pour info , peux tu donner l'expression d'une fonction qui oscille autour de 2 et dont la limite en +infini est 2

[Anonyme]

@Vie89

Juste pour info , peux tu donner l'expression d'une fonction qui oscille autour de 2 et dont la limite en +infini est 2

2 + sin(1/x) ?

[Anonyme]

2 + sin(1/x) ?

OUI c'est OK
et celle qui oscille vers 2 en +infini et qui vérifie f(0)=1 ? pour "coller" à ton exo

[Anonyme]

OUI c'est OK
et celle qui oscille vers 2 en +infini et qui vérifie f(0)=1 ? pour "coller" à ton exo

Mince celle là je sèche.. Je vais y réfléchir :lol3:

[Doraki]

en effet vu qu'elle est bornée sur [0, x0], on peut l'encadrer par un min et un max sur cette intervalle (je ne détaille pas tout, mais vu que ça c'est bon selon moi je passe vite), et vu que [0, x0] C [0, infini], ma fonction prend donc bien un minimum sur [0, infini].

On peut l'encadrer par une borne supérieure et une borne inférieure mais c'est pas pour ça qu'une fonction admet un minimum ou un maximum.
Même si sa restriction à [0; x0] a un minimum (parceque [0;x0] est compact), rien ne te garantit que ce minimum local reste un miminum globalement. (d'ailleurs comment tu définis ton x0 ?)

Par exemple une fonction bornée sur [0 ; +l'infini[ qui n'admet ni minimum ni maximum : f(x) = sin(x)(1-e^-x).
Pour chaque x >= 0 il existe un x' > x tel que f(x') > f(x) donc f n'a pas de maximum ; et de même ipour chaque x il existe x" > x tel que f(x") < f(x) donc f n'a pas de minimum.


Pour montrer que ta fonction admet un miminum il faut que tu te serves des hypothèses, et surtout du fait que f(0) < lim f.

[Anonyme]

[quote="Doraki"]On peut l'encadrer par une borne supérieure et une borne inférieure mais c'est pas pour ça qu'une fonction admet un minimum ou un maximum.
Même si sa restriction à [0; x0] a un minimum (parceque [0;x0] est compact), rien ne te garantit que ce minimum local reste un miminum globalement. (d'ailleurs comment tu définis ton x0 ?)

Par exemple une fonction bornée sur [0 ; +l'infini[ qui n'admet ni minimum ni maximum : f(x) = sin(x)(1-e^-x).
Pour chaque x >= 0 il existe un x' > x tel que f(x') > f(x) donc f n'a pas de maximum ; et de même ipour chaque x il existe x" > x tel que f(x") xo, je construis un intervalle fermé [0,xo] dans le lequel la fonction est bornée. Vu que l'intervalle [0,xo] est inclu dans mon intervalle [0, infini], ma fonction est bornée sur [0, infini].

Ca c'était la première question, si on fait les choses dans l'ordre. Jusque là c'est correct ?

Merci bien.

[Anonyme]

[quote="Doraki"]On peut l'encadrer par une borne supérieure et une borne inférieure mais c'est pas pour ça qu'une fonction admet un minimum ou un maximum.
Même si sa restriction à [0; x0] a un minimum (parceque [0;x0] est compact), rien ne te garantit que ce minimum local reste un miminum globalement. (d'ailleurs comment tu définis ton x0 ?)

Par exemple une fonction bornée sur [0 ; +l'infini[ qui n'admet ni minimum ni maximum : f(x) = sin(x)(1-e^-x).
Pour chaque x >= 0 il existe un x' > x tel que f(x') > f(x) donc f n'a pas de maximum ; et de même ipour chaque x il existe x" > x tel que f(x") infini = 2, cette limite et plus grande que f(0) = 1. La fonction est définie sur [0, infini]. Du coup, soit elle est croissante uniquement et tend vers 2, dans ce cas le minimum sera f(0), mais elle peut aussi osciller puis tendre doucement vers 2. En oscillant elle peut même prendre des valeurs négatives, du coup le minimum ne sera pas f(0) = 1. Enfin ca ne sera pas un minimum global, mais peut-être puis-je démontrer que ce sera un minimum local quoi qu'il arrive ?

Merci d'avance.

[Yann64]

Tu peux fixer ton epsilon à 1/2, par exemple, et puis tu utilises la définition de la limite en +l'infini, qui te donne un x_0 tel que pour tout x >= x_0 f est entre 5/2 et 3/2 , et tu utilise le fait que f est bornée sur [0, x_0]

c'est une esquisse, je n'ai pas d'autre idée pour l'instant.