Evolution de proba dans le temps

[RobinGreen]

Bonsoir à tous,
Ça fait des années que je n'ai plus fait de probas et j'aurais besoin de votre aide pour résoudre un problème en apparence assez simple mais qui dépasse mes compétences / souvenirs.

J'ai un urne qui contient 100 boules, dont 1 boule blanche, toutes indiscernables au toucher.
Chaque jour j’enlève simultanément 6 boules de mon urne (tirage simultané et sans remise).
J'aimerai savoir :
1) Quelle est la probabilité d'avoir la boule blanche le premier jour ? (un seul tirage)
2) Comment évolue la probabilité que la boule blanche soit tirée au fil des jours ?
3) Comment simplifier ce problème si l'urne contient initialement 100 000 boules (avec toujours 1 seule boule blanche) ?

Mes premières intuitions sont que :
1) Ce tirage s'apparente à un tirage successif sans remise :
P(t=1) = chance de l'avoir dès la première boule + chance de devoir tirer 2 boules pour l'avoir + ...
P(t=1) = 1/100 + (99/100)*(1/99) + ... + (99/100)*(98/99)*(97/98)*(96/97)*(95/96)*(1/95) = 6/100
2) Elle devrait augmenter linéairement ou alors P(t) = 6 / (100 - (t-1)*6) jusqu'au 16e jour
3) On pourrait alors considérer les tirages comme indépendants et avec remise dans les premier temps :
P(t<10) ~= 6 * (1/100)

Tout ça est assez lointain pour moi et j'ai vraiment l'impression de faire fausse route...
Vous avez des idées ?

[Pseuda]

Bonjour,

1) Ok. On peut le voir aussi en événements équiprobables de tirer 6 boules. Alors, proba de tirer 1 boule blanche parmi les 6 = nombre de cas favorables (= nombre de tirages de 6 boules parmi 100 qui contiennent la boule blanche) / nombre de cas possibles (= nombre de tirages de 6 boules parmi 100) .... avec les coefficients binomiaux. On trouve le même résultat.

2) Ton résultat n'est pas linéaire de t ? D'ailleurs, ce que tu as écrit ne veut rien dire, t n'est pas un nombre.

Pour le faire, même raisonnement, avec proba de tirer la BB le 2ème jour = proba de ne pas la tirer le 1er jour x proba de la tirer le 2ème jour sachant qu'elle n'a pas été tirée le 1er jour. Je trouve 6/100 aussi le 2ème jour. Etc...

Si on considère qu'on demande la proba d'avoir tiré la BB au plus tard le nième jour (l'énoncé est ambigu), alors là la proba est effectivement linéaire = 6n/100, jusqu'à n=16, puis =1, le 17ième jour.

[RobinGreen]

Merci de ta réponse rapide !

1) Le résultats est donc le même pour un tirage successif de 6 boules avec remise, sans remise ou simultané ?
Je pensais qu'il y aurait une différence avec le cas de la question 3)...

2) Mon problème initial est en réalité celui d'un lac, avec beaucoup de poissons, et chaque jour le pêcheur en attrape 6. On ignore la reproduction des poissons et le lac se videra à terme de tout ses poissons. La question est de savoir si la probabilité individuelle pour un poisson d'être pêché au fil des jours croît* bien linéairement.
Ce que je trouve contre intuitif c'est qu'il ne devrait quasiment pas y avoir de différence ente le premier jour et le 10ème, alors qu'elle devrait être beaucoup plus grande quand le nombre de poisson devient très faible...

[Pseuda]

Merci de ta réponse rapide !

1) Le résultats est donc le même pour un tirage successif de 6 boules avec remise, sans remise ou simultané ?
Je pensais qu'il y aurait une différence avec le cas de la question 3)...

Non il n'est pas le même. Au niveau de la probabilité, elle est la même pour un tirage sans remise ou simultané. Mais pour un tirage avec remise, elle est tout autre.

2) Mon problème initial est en réalité celui d'un lac, avec beaucoup de poissons, et chaque jour le pêcheur en attrape 6. On ignore la reproduction des poissons et le lac se videra à terme de tout ses poissons. La question est de savoir si la probabilité individuelle pour un poisson d'être pêché au fil des jours décroît bien linéairement.
Ce que je trouve contre intuitif c'est qu'il ne devrait quasiment pas y avoir de différence ente le premier jour et le 10ème, alors qu'elle devrait être beaucoup plus grande quand le nombre de poisson devient très faible...

Cela paraît effectivement contre-intuitif, mais en fait c'est plausible. Imagine que tu sors les poissons du lac 1 par 1, et que tu leur donnes un numéro de tirage. Ils sont alors tous numérotés de 1 à 100. Ils ont alors tous la même probabilité d'avoir un numéro donné, ou pour un poisson donné, il a la même probabilité d'avoir un des 100 numéros, soit la même probabilité chaque jour d'avoir été tiré ce jour-là, soit 1/100.

[RobinGreen]

1) Avec remise, la probabilité n'est-elle pas aussi simplement de 6*(1/100) ?
2) Ok, c'est plus logique en numérotant les poissons effectivement, merci

[Pseuda]

Bonsoir,

1) Sans remise, la probabilité de tirer la boule blanche (le poisson) chaque jour est donc tout simplement de 6(1/100)=6/100 (somme des probabilités des événements incompatibles que sont tirer le poisson au 1er tirage, au 2ème, ...., au 6ème).

2) Avec remise, la boule blanche (le poisson) peut être tirée plusieurs fois. Dès lors, il faut préciser : la remise se fait chaque jour (au bout de 6 tirages) ou après chaque tirage ? on cherche la probabilité de tirer la BB au moins 1 fois chaque jour ou exactement 1 fois ?

Supposons que la remise se fait à chaque tirage, et qu'on cherche la probabilité de tirer au moins une fois la BB (le poisson) le1er jour (donc chaque jour puisqu'il y a remise) ; c'est : 1 - la proba de l'événement contraire (ne pas tirer la BB au bout de 6 tirages) = 1-(99/100)^6. Avec les tirages avec remise avec deux issues possibles (tirer ou non la BB), on tombe dans la loi binomiale.