évènements corrélés

[GaBuZoMeu]

Il me vient une question.

On fixe les tours où Yves reçoit les k plus petits coeurs et on ne considère que les distributions où il n'y a pas deux coeurs à suivre (on est dans D).
Est-ce que toutes les positions du (k+1)-ème coeur non interdites par D sont équiprobables (dans l'univers D) ? C'est peut-être clair, mais je ne vois pas pourquoi, comme ça.
Or il me semble bien que c'est utilisé dans le raisonnement.
Bien sûr, quand il n'y a pas de contrainte sur la distribution, on a équiprobabilité des places disponibles ; on s'en sert pour le cas 1. Dans les cas 2 ou 3 je n'ai pas de problème, j'utilise une bijection.

Pour le calcul par dénombrement dans le cas 4, pas de problème non plus.

Mais je ne suis toujours pas au clair sur P(A_(k+1) | A_k et D).

[lyceen95]

Sachant que dans le paquet de cartes, il n'y a jamais 2 coeurs qui se suivent alors quelle est la probabilité que les 8 coeurs soient répartis de tel sorte à arriver chez la même personne (à savoir soit que des places paires, soit que des places impaires)

Ah??
Effectivement, je suis totalement hors-sujet. Merci pour la traduction.

Je me disais aussi que je ne voyais pas le rapport entre cette histoire et des événements positivement corrélés.

Univers U : Toutes les dispositions possibles imaginables.
Evénement X : il n'y a pas 2 coeurs consécutifs.
Evénément NON-X : Il y a 2 coeurs consécutifs.
Evenement Y : Yves a tous les coeurs

Effectivement , X et Y sont 'positivement corrélés'.
X et Y sont 'positivement corrélés' si NON-X et Y sont négativement corrélés.
Et ici, NON-X et Y sont négativement corrélés, à un point tel qu'ils sont en fait incompatibles !
L'événement X n'est pas suffisant pour obtenir l'événement Y, mais c'est une condition nécessaire.

Cardinal(U)= 32!
Card(X) = (25!*24!)/17! : c'était mon calcul, pas complètement hors sujet au final.
Card(Y) = 8!*8!*16!
Proba (Y sachant X) = Card(Y inter X ) /Card(X) = Card(Y)/Card(X)= 8!*8! 16!*17! / (24!*25!) = 1.26e-12

Ca c'est la probabilité que Yves reçoive les 8 coeurs.
La probabilité que Yves ne reçoive aucun coeur, et son ami reçoive les 8 coeurs , c'est la même.
La probabilité que Soit Yves, Soit son ami, reçoive les 8 coeurs, c'est donc le double.

Edit : Card(Y) = 8!*8! *16!
Non, c'est beaucoup plus que ça. Ce nombre, c'est le nbre de cas où Yves reçoit les 8 coeurs, puis 8 autres cartes..

[Doraki]

Savoir si l'ordre de distribution joueur A ou joueur B pour premiere carte changeait le résultat
avait été évoqué initialement.
Il me semblait que cela ne changeait pas les résultats.
Tu vois une asymétrie dans quelle situation ?
Dans la 4 il ya des effets de bord, mais ils sont symétriques non?

Ca ne change pas le résultat final P(A sachant D), mais ça change P(A1 sachant D) et (j'ai pas vérifié mais bon du coup ça donne un gros doute) tous les P(A(k+1) sachant Ak et D), dont j'ai cru comprendre que tu te servais pour ton raisonnement.

En tout cas, P(Yves obtient le premier coeur, sachant D) + P(Pierre obtient le premier coeur, sachant D) = 1,
donc si tu penses que l'un est > 1/2, alors l'autre est < 1/2, donc savoir par qui on commence quand on parle des P(Ak sachant D) pour k<8 devient important

On peut montrer par symétrie que P(Yves a le premier coeur sachant D) = P(Pierre a le dernier coeur sachant D), mais pas que c'est égal à P(Pierre a le premier coeur sachant D) (et tant mieux vu que ça n'est pas égal)

[beagle]

Et oui GBZM c'était le truc dont j'aurais aimé parlé si on avait fait des maths au lieu du cinoche , il ya plusieurs années,
la situation 4 pose un gros soucis avec l'équiprobabilité.

Bon maintenant c'est loin pour moi cette histoire et je n'ai plus mes notes, ni l'envie d'y retourner.
Mais oui soucis dans le calcul exact en passant par le "sequentiel"
Mais pour moi cela ne remet pas en cause le classement sans calcul exact, puisque l'on peut faire varier le nombre de carte entre les cas où le maximum est le calcul exact,
et si tu peux confirmer sur les exemples donnés ce matin
et les cas se rapprochant du minimum.
Si on est entre les deux meme plus pres de l'un que de l'autre, alors c'est bon.

Pour Doraki, j'ai du mal, cela dit quelque chose de proche de GBZM sur la non équiprobabilité des randoms ?

[GaBuZoMeu]

Mais pour moi cela ne remet pas en cause le classement sans calcul exact,

Le classement sans calcul ne pose aucun souci, vu l'argument très simple que j'ai donné concernant P(A) < P(A | B) < P(A | D).
Je trouve que la "méthode séquentielle" présente un intérêt pour P(A | B) = P(A | C).

Pour le calcul combinatoire donnant le résultat exact dans le cas 4)
avec 2n cartes distribuées entre les deux joueurs, et p "bonnes cartes" parmi les 2n (p inférieur ou égal à n), je pense que personne n'a de problème là-dessus, enfin je répète tout de même :
Cas favorables A (toutes les bonnes cartes chez Yves) :
n! (2n-p)! / (n-p)!
Tous les cas D (distributions n'ayant pas deux bonnes cartes à suivre) :
(2n-p+1)! (2n-p)! / (2n-2p+1)!
Et donc :
P(A | D) = n! (2n-2p+1)! / (n-p)! / (2n-p+1)!

Pour n=16, p=8 ça fait bien 26/2185, à peu près 1,19%

Pour p petit devant n, on est proche de 1/2^p et pour p égal à n on est à 1/(n+1).

[Vassillia]

Pour moi, il n'y aura pas d'équiprobabilité ne serait-ce que parcqu'il y moins de configurations bloquantes pour la position 1 et position 32 et je suis d'accord que c'est indispensable au raisonnement.
Ceci dit, Beagle a fait un encadrement comme il a pu, c'est une approche qui a le mérite d'exister et de tenter quelque chose. Elle n'entre pas en concurrence avec le dénombrement qui donne le résultat exact directement et sans contestation possible.
Cela pourrait être intéressant d'essayer de vraiment démontrer pourquoi la probabilité et éventuellement de la calculer. Je sens bien que cela va être galère et je suis réaliste sur le fait que GaBuZoMeu a nettement plus de chances de s'en sortir que moi s'il essaye.
Est-ce qu'il n'y aurait pas moyen d'enterrer le passé et de repartir sur de bonnes bases ? Je sais, il y a un historique, mais je suis une éternelle optimiste, ce serait plus agréable à lire pour tout le monde et on pourrait apprendre des choses ce qui est un peu le but quand même (enfin pour moi).

[beagle]

A part le fait que je ne suis plus dans le coup je ne vois pas ce qui empèche de faire des maths.

J'ai toujours dit que les démonstrations de GBZM quand je les comprends, j'applaudis.
C'est parfois difficile pour moi au niveau du langage mathématique.
Par exemple Doraki qui est d'un niveau élevé, les souvenirs qu'il me laisse c'est dans les problèmes d'écrire en une seule ligne ce qui correspondait pour moi à 10 lignes.
Je me souviens, je me disais oui mais il faut A, mais c'est dans la phrase, et aussi B, c'est aussi dedans, reste C, mais c'est dedans. alors je relisais la phrase de Doraki, ah ben zut alors, c'est fortiche. Heureusement à l'époque Ben314 décodait le Doraki pour les gens moins formés.

Sinon revenons à l'historique du problème.
Un matin un élève demande la proba de … Je réponds : ben si c'est indépendant cela va aller vite.
Oui mais sauf que, c'était un matin embrouillé où le café n'avait pas encore agi.C'était une énorme bévue.
Chose assez marrante, il s'était allumé dans mon petit cerveau un retro-controle qui disait gaffe quand meme , t'as vérifié que … Mais fatigué ce jour ce petit réseau de neurones je l'ai fait s'éteindre, et je me suis assis dessus.
Bref la bévue éffacée, je me dis, mais tu avais quoi en téte à ce moment et pourquoi cela ne pouvait pas fonctionner ainsi.
Donc j'ai pris un exo équivalent mais avec des cartes, et j'ai regardé diverses situations, celle sans indépendance, celle avec indépendance et j'ai cherché la 4) pour avoir le pendant à la 1) mais dans l'autre sens. et aussi la 2) me faisait marrer parce que si tu le prends en combinatoire tu te fais ch..r pour rien.
Bref le problème de base avait bien été conçu pour
je disais des probas mais ce sont les évènements
corrélés négativement, indépendants et corrélés positivement.

Que GBZM prenne le problème par un autre bout, très bien,
jamais été contre sa solution.

Ensuite faites ce que vous voulez avec c e truc.
J'ai relancé juste sur le mot corrélation qui peut etre utilisé pour deux évènements. Et j'avais pensé à corrélation mais cela ne collait pas avec wiki de corrélation qui un autre usage...

[Vassillia]

GaBuZoMeu, je me permets d'enlever une coquille de copier-coller, tu voulais surement dire


Et pour répondre à Lyceen95 et Doraki, on cherche la probabilité que les 8 coeurs arrive chez l'un d'entre eux uniquement mettons Yves. Les 2 cas sont symétriques selon moi, cela se démontre assez facilement en partant de la fin ou du début pour distribuer. D'ailleurs, je pense que tu as mal compris la notation Doraki, est l'événement "le plus petit coeur arrive chez Yves" pas l'événement "le premier coeur distribué arrive chez Yves" et du coup je ne vois pas pourquoi il y aurait une différence en fonction de l'ordre de distribution.

[beagle]

GBZM, "pour p petit devant n tu dis proche de 1/2^n"
et c'est vrai on y va
mais sans aller trop loin:
tu confirmes ou pas que plutôt que 1/2^n c'est mon majorant qui est le plus proche
n/2n * (n-1)/(2n-3) * (n-2)/(2n-6) * (n-3)/(2n-9)*…(n-(p-1)/2n-3(p-1)

donc dans l'exemple que je donnais:
"On doit choisir 4 cartes dans un paquet de 100 cartes avec le random de la situation 4.
Mon maximum calculé est 0,0666
Mon minimum est 0,0625 (la puissance de 1/2)
Je prétends que le théorique sera tout proche du max et fort éloigné du min"

Pour 10 cartes dans 100
mon majorant est 0,00167
alors que 1/2^10 est 0,00098
qui est le plus près ?

[Doraki]

Ah ben j'avais mal compris alors.

Donc on suppose que (en plus d'etre dans le cas D) Yves a reçu les k plus petits coeurs,
Pour le (k+1)ème plus petit coeur, vu qu'il ne doit pas cotoyer un des k coeurs plus petits qui sont chez Yves
on sait qu'il y a alors entre 2n-3k et 2n-2k positions possibles, dont n-k qui sont pour Yves (le reste pour Pierre)

Le problème c'est que le choix n'est sûrement pas fait de manière équiprobable entre toutes les positions possibles, ou si ça l'est c'est quelquechose qui demande une preuve.
Donc on ne peut pas juste dire que comme n-k représente la moitié ou plus dans tous les cas,
P( Ak+1 | Ak et D) > 1/2

Autant calculer P(A), P(D), P(A et D) et tout le bazar, je veux bien,
mais alors calculer P(Ak+1 | Ak et D) je vois pas trop de manière rapide de faire

[Vassillia]

Voilà, tu as compris le problème Doraki.
Beagle l'affirme parcequ'il est évident par inclusion que P(A|C)<P(A|D), certes il ne l'exprime pas comme cela mais au fond, c'est l'idée qu'il utilise. La contrainte D étant plus favorable à Yves que la contrainte C, pour lui cela augmente les chances d'avoir les coeurs et c'est pas faux dans l'idée.
Par contre forcément GaBuZoMeu voit bien qu'il y a une grosse faille dans le raisonnement et je ne peux que lui donner raison sur ce point, mathématiquement c'est pas une démonstration. Pour solutionner ce problème, il ne reste plus qu'à exprimer cette fameuse probabilité mais cela ne me parait pas évident du tout.
PS : pour mémoire la contrainte C était pas 2 cœurs lors d'un même tour

[beagle]

Vassilia répond sur le maximum dans les exemples que j'ai pris si GBZM ne veut pas le faire.

Sinon la non équiprobabilité je l'avais donc ce n'est pas une faille de raisonnement.

[Vassillia]

Tant mieux si tu l'avais Beagle mais peut-être que tu ne te rends pas compte des conséquences que cela peut avoir. Tant que tu dis que tu ne donnes qu'une estimation, je veux bien par contre tu vas avoir des problèmes si tu veux généraliser pour p>2n/3 comme tu vas faire apparaitre des probabilités conditionnelles négatives, cela va mettre le bazar.

Sauf erreur de ma part, pour 2n=100 donc n=50
si p=4 alors P(A|D) vaut environ 0,066468
si p=10 alors P(A|D) vaut environ 0,001598

M'enfin tu devrai pouvoir te servir de la formule trouvée par GaBuZoMeu tout seul maintenant, non ?

[GaBuZoMeu]

GaBuZoMeu, je me permets d'enlever une coquille de copier-coller, tu voulais surement dire

Oui, c'est ce que je voulais écrire et c'est ce que j'ai écrit (en ligne). Comment lis-tu a/b/c ? Tu peux demander à ta calculette ou à ton programme favori.

[Vassillia]

Ben en fait, je ne savais pas trop comment le lire justement sans parenthèses pour m'y retrouver donc dans le doute j'ai recalculé ce qui n'était pas très compliqué je te l'accorde.
Si pour toi, c'est explicite, rien à y redire, ce n'est pas vraiment la présentation la plus lisible pour moi mais si tu la préféres, pas de problème, j'imagine que c'est juste une habitude à prendre.

[GaBuZoMeu]

C'est, me semble-t-il, la convention habituelle pour la lecture des opérations de même priorité : de gauche à droite. La version additive te choquerait sans doute moins : a-b-c. Ben a/b/c, c'est pareil.
Et je le répète, c'est bien ainsi que le comprennent toutes les calculettes et logiciels de calcul :

[Vassillia]

Effectivement, je n'ai aucun problème avec la version additive comme quoi mon comportement n'est pas logique du tout, mince alors ! Je te crois volontiers sur la convention d'écriture, il en faut bien une et elle fait sens, juste que je ne l'utilise jamais. Je mets toujours la jolie barre de fraction au niveau du signe égal (ou des parenthèses si je parle aux machines pour être sure qu'elles font bien ce que je leur demande). Du coup dès que j'ai vu le symbole / j'ai inconsciemment eu envie de faire pareil mais je voyais bien que ce n'était pas correct donc ma compréhension a bugué, ça arrive

[beagle2]

Vassillia, c'est fatiguant ces remarques:
"Tant mieux si tu l'avais Beagle mais peut-être que tu ne te rends pas compte des conséquences que cela peut avoir"
1) j'ai dit il ya une truc avec la 4) qui meritait discussion
2) c'était en effet la non équiprobabilité
3)c'est ce qui m'a fait arréter d'essayer un calcul exact par le sequentiel
donc mince, c'est quoi ces remarques incessantes, il ya peu tu disais que je ne savais pas ce qu'était un biais.
C'est un peu pénible.

Mais je te relance pour que tu m'expliques un truc.
Lorsque j'ai parlé d'un majorant, ou d'un maximum,
GBZM m'est tombé dessus comme quoi c'était impossible.
Lorsque je demande à GBZM où on va pour un p petit par rapport à un n grand,
il préfére dire que l'on va vers (1/2)^p

Donc lorsque je dis pour du p=4 n=100 j'attends un resultat proche du max à 0,666
plutot que le 1/2 ^4 à 0,0625
Lorsque je dis pour du p= 10 n= 100 j'attends d'etre proche de max à 0,00167 plutot que pres de (1/2)^10 à 0,00098
J'aimerais bien que tu me dises avec les résultats que tu as trouvé,
en quoi mon majorant , mon maximum n'était pas bon
et si c'est bien vers lui qu'on tend dans les cas indiqués.
Enfin je veux dire , que voulais dire GBZM sur mon majorant impossible et sur où on va quand p petit par rapport à n
merci

[GaBuZoMeu]

Beagle, tu es fatigant à force de prendre comme une agression intolérable toute demande d'explication.
1°) Je t'ai demandé des explications parce que tu parlais d'un majorant pour la probabilité conditionnelle dans le cas 4 alors qu'on parlait de démontrer que cette probabilité conditionnelle est plus grande qu'une autre.
En l'état actuel, la "méthode séquentielle" ne fournit toujours pas de démonstration que la probabilité conditionnelle dans le cas 4 est plus grande que les autres (vu le problème de l'équiprobabilité).
2°) Pourquoi est-ce que je parle de 1/2^p pour p petit devant n ? Tout simplement parce que la limite de la probabilité conditionnelle quand p est fixé et n tend vers l'infini est 1/2^p.

[Vassillia]

Mais enfin Beagle, si je dis tant mieux, cela veut juste dire tant mieux, excuse moi de ne pas avoir en mémoire chacun de tes mots. Je voulais juste dire que la non équiprobabilité ne permet pas vraiment de dire qui est le pire cas et qui est le meilleur cas car on est dans le flou artistique, on ne sait pas vraiment où on en est. C'est pour cela que ta démonstration n'en est pas vraiment une mais ne le prends pas mal, je n'ai pas cherché énormément mais je ne sais pas le démontrer non plus même si je t'accorde que c'est intuitif le >0,5 (je sais, tu n'aimes pas ce mot mais je n'en ai pas d'autres).

Quand à ce que voulait dire GaBuZoMeu, vois avec lui, je ne suis pas sa porte-parole et je n'ai pas vocation à faire de la médiation ad vitam eternam. En tout cas ton majorant, il va devenir négatif si p est trop grand et c'est problématique pour une proba. L'idée de base n'est pas mauvaise pour autant et je comprends pourquoi tu es tombé là dessus mais pour savoir quand il est vrai ou pas et bien il faut comparer ta formule à savoir :
à la formule exacte , il suffit d'étudier les dénominateurs et on va trouver des conditions de validité qui relient p à n. Pour ton minorant en revanche à savoir : , on est tous d'accord, il sera toujours vrai. Ce n'est pas hyper motivant pour moi vu que je connais le résultat exact mais si tu le fais, je te lirai. Après de toute façon, il existe forcément un majorant que personne ne va contredire quitte à choisir la valeur 1 mais l’intérêt est limité

Et s'il te plait, arrete de tout prendre mal, regarde GaBuZoMeu vient de me faire remarquer qu'en fait c'était évident à lire sa formule alors que je n'avais rien compris, je n'en fais pas un scandale, je ne me sens pas agressée, tout va bien, on arrive à discuter sereinement. C'est épuisant d'avoir l'impression de te vexer alors qu'il n'y en avait aucune intention.

Edit : pas vu le message précédent avant de poster