Événements consécutifs (Proba)

[Xander]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un problème de proba, je mets les étapes de l'exo :

Etape 1 : Un événement se passe 3 fois, la probabilité qu'il soit VRAI vaut p (La probabilité qu'il soit FAUX vaut q).
Qu'elle est la probabilité P qu'il soit VRAI 2 fois de suite :



On a donc :



Etape 2 : L’événement se déroule désormais 4 fois.





On a donc :



Etape 3 : Généraliser pour n fois.
J'imagine qu'on a quelque chose du genre

Mais je n'arrive pas généraliser.

Cela fait un petit moment que j'y réfléchi, peut être y introduire une suite géométrique ? Merci de votre aide.

[Xander]

Pour n=5 on a :





On a donc :

[Robot]

Tu y verras peut-être plus clair en te rappelant que q=1-p.

[Xander]

C'est vrai que je n'ai pas pensé l'appliquer,

J'obtiens



J'imagine que :


Quelqu'un peut-il me le confirmer ? Car pour il me reste du , j'ai du faire une erreur.

[Robot]

C'est tentant, mais ça n'a pas l'air vrai ... et tu ne t'es pas trompé pour le cas n=5.
Que te demande-t-on exactement ?
On peut trouver une formule de récurrence pour (plus exactement pour , c'est plus facile par ce bout là).

[Xander]

Il faut que je trouve en fonction de . Et effectivement cela ne marche pas pour le cas car mon calcul donne alors que la vraie proba est de (Si on prend ).

Et comment trouver cette formule de récurrence ? Et pourquoi est-ce plus facile par ?

[Robot]

Comment est-ce possible de ne pas avoir deux 1 consécutifs dans une suite de n symboles 0 et de 1 ? Analyser en partant de la fin de la suite, pour avoir une formule de récurrence liant , et .

[Xander]

Juste parce que je viens de faire le calcul,

Je vais étudier ce que tu me proposes Robot, je reviendrais sur ce topic si j'ai des questions, merci pour ton aide !

[Xander]

Du coup il faut que je cherche quoi ?
Une résolution de ce système :




Ou bien une résolution à cette équation :



Et encore cela peut être d'autre formes du style

ou alors il existe une autre méthode ? Comment vérifier mon résultat ?

[Robot]

N'as-tu pas vu, je t'ai proposé une méthode :

Comment est-ce possible de ne pas avoir deux 1 consécutifs dans une suite de n symboles 0 et de 1 ? Analyser en partant de la fin de la suite, pour avoir une formule de récurrence liant , et .

Allez, une indication supplémentaire :
Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 0 ...
Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 1 ...

[Xander]

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 0 alors la probabilité que la suite ne contiennent pas deux 1 consécutifs

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 1 alors la probabilité que la suite ne contiennent pas deux 1 consécutifs

[Xander]

N'as-tu pas vu, je t'ai proposé une méthode :

Comment est-ce possible de ne pas avoir deux 1 consécutifs dans une suite de n symboles 0 et de 1 ? Analyser en partant de la fin de la suite, pour avoir une formule de récurrence liant , et .

Allez, une indication supplémentaire :

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 0 alors la suite ne contient pas deux 1 consécutifs.
Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 1 alors la suite ne contient pas deux 1 consécutifs si l'avant dernier symbole égale 0.

[Robot]

Je rappelle que l'objectif est d'arriver à une relation de récurrence entre P_n, P_{n-1} (sans doute faire intervenir la suite formée des n-1 premiers termes) et P_{n-2} (sans doute faire intervenir la suite formée des n-2 premiers termes).

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 0 alors la suite ne contient pas deux 1 consécutifs.

Relis cette phrase que tu as écrite. Ne trouves-tu pas qu'elle tourne en rond ?
Ce n'est sans doute pas ce que tu voulais écrire. Donc écris plus précisément ta pensée (tu peux tenir compte de ce que j'ai écrit plus haut).
Fais le même travail pour la deuxième phrase, et traduis tout ça en formule de récurrence.

Edit : il aurait mieux valu publier un seul message (on peut modifier un message) plutôt que deux à la suite. Je n'ai vu que le dernier !
Apparemment, tu as compris ce que je te soufflais, mieux que tu ne l'as écrit dans la phrase que je viens de citer.

[Xander]

Bonjour Robot, as-tu lu mon message précédent ?

Cette formule marche pour .

[Ben314]

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 0 alors la suite ne contient pas deux 1 consécutifs.
Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 1 alors la suite ne contient pas deux 1 consécutifs si l'avant dernier symbole égale 0.

Au niveau de "l'idée", c'est à dire en essayant de lire "entre les lignes" de ce que tu as écrit, c'est peut-être intéressant ce que tu raconte là, mais si on lit strictement que ce qu'il y a d'écrit (un peu comme le ferais un prof par exemple... ), ben... c'est pas terrible vu que ça "dit" que :
Si un animal est un chien et qu'en plus blablabla alors c'est un chien !!!

[Xander]

Edit : il aurait mieux valu publier un seul message (on peut modifier un message) plutôt que deux à la suite. Je n'ai vu que le dernier !
Apparemment, tu as compris ce que je te soufflais, mieux que tu ne l'as écrit dans la phrase que je viens de citer.

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 0 alors la suite ne contient pas deux 1 consécutifs.
Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 1 alors la suite ne contient pas deux 1 consécutifs si l'avant dernier symbole égale 0.

Au niveau de "l'idée", c'est à dire en essayant de lire "entre les lignes" de ce que tu as écrit, c'est peut-être intéressant ce que tu raconte là, mais si on lit strictement que ce qu'il y a d'écrit (un peu comme le ferais un prof par exemple... ), ben... c'est pas terrible vu que ça "dit" que :
Si un animal est un chien et qu'en plus blablabla alors c'est un chien !!!

En faite je voyais plus ça comme cela :

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et qu'on rajoute un 0 à la fin de cette suite alors la suite finale ne contient pas deux 1 consécutifs.

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et qu'on rajoute un 1 à la fin de cette suite alors la suite finale ne contient pas deux 1 consécutifs si et seulement si l'avant dernier symbole est un 0 (dernier symbole de la suite de base).

J'avoue que je me suis mal exprimé.

La formule finale est-elle bonne ?

[Ben314]

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 0 alors la probabilité que la suite ne contiennent pas deux 1 consécutifs
Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 1 alors la probabilité que la suite ne contiennent pas deux 1 consécutifs

Les formules finales sont justes, par contre, la "prose" au dessus pour les expliquer n'est pas terrible :
- Même remarque que précédemment sur le "non sens" des phrases prises telle qu'elle.
- Vu que tu cherche à trouver TOUT LES CAS où une suite de longueur n contient deux fois V et SEULEMENT CEUX LA, il faut que tu procède par équivalence (ou alors que tu fasse les deux implications) et ça doit se "voir" dans ta prose.

[Robot]

Bon, je laisse Ben314.

[Xander]

Bonjour,

Et du coup maintenant il demande de faire varier le nombre de VRAI consécutifs, en faisant quelques calculs j'ai pensé à ça :

n est le nombre de tests
x est le nombre de VRAI consécutifs



Avec
Et

Vous en pensez quoi ? D'après mes tests ça fonctionne pour p=0.5

[chan79]

Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 0 alors la probabilité que la suite ne contiennent pas deux 1 consécutifs
Si une suite ne contient pas deux 1 consécutifs et se termine par 1 alors la probabilité que la suite ne contiennent pas deux 1 consécutifs

Les formules finales sont justes, par contre, la "prose" au dessus pour les expliquer n'est pas terrible :
- Même remarque que précédemment sur le "non sens" des phrases prises telle qu'elle.
- Vu que tu cherche à trouver TOUT LES CAS où une suite de longueur n contient deux fois V et SEULEMENT CEUX LA, il faut que tu procède par équivalence (ou alors que tu fasse les deux implications) et ça doit se "voir" dans ta prose.

un essai d'explication:
n expériences (1 ou 0)
p probabilité de 1
probabilité pour qu'il n'y ait pas deux 1 consécutifs et que le dernier soit 1
probabilité pour qu'il n'y ait pas deux 1 consécutifs et que le dernier soit 0
les expériences sont indépendantes








probabilité pour qu'il n'y ait pas deux 1 consécutifs



soit la probabilité pour qu'il y ait au moins deux 1 consécutifs








à partir de et



et de même