Evaulation d'une double intégrale dans R^3

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Bonjour,

Je cherche à évaluer analytiquement (ou numériquement) l'intégrale suivante :



Avec
une position dans sphère de rayon R et une seconde position dans cette même sphère.

La fonction pour est


et est la distance euclidienne entre et soit :

ou l'indice k désigne une coordonnée cartésienne de (ou ).

Actuellement j'ai implémenter l'intégrale numérique de façon grossière, la solution me semble correcte. Néanmoins, pour des rayons R qui deviennent importants, le temps de calcul est beaucoup trop long (4h pour R = 40 ... et je souhaiterais atteindre R = 125).

Si quelqu'un peut me donner une bonne piste pour une résolution correcte et efficace, cela serait vraiment très sympathique

[Luc]

Bonjour,

est-ce que tu t'es renseigné sur la méthode de Monte-Carlo pour le calcul numérique approché de ton intégrale?

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En fait non, je connais le principe de la méthode Monte-Carlo (série de points au hasard jusqu'à obtenir une réponse convergente) mais ne l'ai jamais appliqué.

Dans le cadre de ma question, j'imagine que cela pourrait prendre la forme suivante :

pour l'itération N :
- choix au hasard de x_i x_j dans le Sph(R)
- évaluation de F : F_N
- G_{N+1}(R) = G{N}(R) + F_N
Si G_{N+1}(R) ~= G{N}(R) alors on s'arrête sinon on reprend un couple de points.

Le souci c'est qu'intuitivement G_{N+1}(R) ne va jamais s'arrêter de croître ...

[Luc]

et sont des points de l'espace ?

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Oui, plus précisément dans sous espace de R^3 (une sphère de rayon R )

[nparment]

Bonne suggestion pour l'intégration avec une méthode Monte-Carlo, cela fonctionne très bien. Merci