Souvent, on remplace des sommes finies (i de 1 a n) par des sommes infinies (i de 1 a l'infini). C'est une astuce qu'on retrouve de temps en temps. C'est plus facile de manipuler/combiner des sommes quand les bornes de début et de fin sont toujours les mêmes, et pas dépendantes de formules compliquées.
Et surtout, pourquoi on a le droit de faire ça. Parce qu'on s'est assuré que tous les termes qu'on ajoute (i de n+1 à l'infini) sont tous strictement NULS.
n=36 par exemple
p=5
Combien y a-t-il de multiple de
ou
dans les nombres entre 1 et 36 : aucun. Donc compter tous les multiples de
plus tous les multiples de
plus etc ..., ce n'est pas faux, on ajoute plein de fois zéro.
Pourquoi multiplie-t-on par k ?n=36 par exemple
p=5
Les multiples de 5 qui interviennent dans 36! sont : 5 10 15 20 25 30 35
Et 25 est même un multiple de 5²
Quand je vais calculer 36!, le facteur 5 va apparaître 8 fois :
- 6 fois via les facteurs 5 10 15 20 30 35,
- plus 2 fois via le facteur 25
C'est à dire 6 fois via les 6 facteurs
tels que
Plus k=2 fois via le seul facteur 25, tel que