Etude d'une suite complexe

[jonses]

Bonjour,

J'essaye d'étudier une suite à valeurs dans C, mais je suis bloqué et aucune idée ne vient.

--

Soit la suite définie par et

,

Etudier la suite


--


J'ai pensé au début étudier la suite , et remarqué qu'elle est décroissante, puis peut-être obtenir quelque chose avec Bolzano-Weirestrass, mais ça mène nulle part. J'ai pensé qu'il faut plutôt que je m'intéresse à , sauf que je vois pas trop comment faire, aucune idée ne vient.

Tout ce que j'ai remarqué c'est que si est réel alors la suite converge (enfin si je me suis pas trompé)

Si quelqu'un peut me donner une indication svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[chan79]

Salut
La partie imaginaire de est égale à la moitié de celle de .

Une conjecture (inutile pour calculer la limite): les éléments de sont situés sur une ellipse (qui dépend de )

[fatal_error]

salut,

à priori en écriture polaire ca a l'air pas mal.
On écrit
pis
avec D'alembert, on a
puis ce module est inférieur à 1 quand n tend vers l'infini, sauf si theta_n == 0, il convient alors d'étudier la suite des theta_n quand est-ce que ca vaut

[chan79]

salut,

à priori en écriture polaire ca a l'air pas mal.

c'est mon avis aussi.
On peut exprimer en fonction du module et de l'argument de et de n, et trouver la limite (réelle)

[deltab]

Bonjour.

@ Fatal error.
C'est le cas de le dire, la règle de D'Alembert est valable pour les séries à termes réels strictement >0 à partir d'un certain rang.
Elle se généralise aux séries à termes réels strictement < 0 à partir d'un certain rang.

[deltab]

@ Jonses.
Le cas réel se traite sans sans problèmes est alors réel (discuter en fonction du signe de
L'idée d'utiliser la suite des modules n'est pas mauvaise en soi, elle a permis de dire que cette suite était convergente. Si l'on peut montrer que . Le problème est alors réglé.
Si on pose , alors pour et , on pourra peut-être calculer l

[DamX]

Oui mais l'on ne peut pas, parce que ce n'est pas le cas (hors cas trivial U0 réel négatif). On peut montrer sans trop de difficulté que Un converge vers un réel positif, quant à trouver la limite c'est autre chose.

[DamX]

En fait le truc sympa dans cet exo, c'est que l'opération correspond à une opération géométrique, Un+1 est le milieu du segment entre Un et le point à même distance de 0 situé sur la demi-droite des réels positifs.

Ca ressemble à ça


Pour une version formelle, comme Chan l'a dit on peut très bien obtenir une expression formelle en polaire de Un en fonction de U0 et n, mais rien qu'avec un raisonnement géométrique, on peut en fait démontrer finalement rigoureusement la convergence :

- déjà dire que le module décroit à chaque étape (le milieu du segment se trouve strictement dans le cercle),
- l'angle est divisé par 2 à chaque étape (on a un triangle isocèle (0,Un,|Un|) dont le milieu du côté [Un,|Un|] correspond au croisement de la bissectrice de l'angle en 0).
Cela permet de dire que le module de Un converge et que l'argument converge vers 0.

- Enfin, on peut noter que l'abscisse de Un est croissante (car on fait le milieu de Un avec |Un| qui a une abscisse supérieure à celle de Un), et ainsi comme à partir de U1 l'abscisse est strictement positive (hors cas U0 réel négatif), ça permet de conclure que Un converge vers un réel strictement positif.

Si on avait pris U0 dans le demi cercle inférieur, ça aurait été exactement la même chose dans le demi-cercle inférieur.

La question qui reste est peut-on trouver la valeur de cette limite ? (par valeur j'entends une formulation autre que le produit infini de cosinus qui sort de l'expression du module de Un).

Damien

[fatal_error]

en supposant theta dans le premier cardan,
on a donc cos(theta) positif
on a

on peut prendre la suite les modules de , et on a donc

le tout étant d'expliciter bigprod... et faire tendre n vers l'infini.

En remarquant
il vient téléscopiquement

en faisant tendre n vers l'infini, la quantité tend vers 0 et son dl3 vaut:

j'vais au dl3 parce que je sais jamais quand jpeux m'arrêter avant
composant avec ln, il vient


Enfin on peut simplifier le produit :

et donc


sauf erreur...
edit:

La question qui reste est peut-on trouver la valeur de cette limite ? (par valeur j'entends une formulation autre que le produit infini de cosinus qui sort de l'expression du module de Un).

et boum en plein dedans

[DamX]

Joli pour le télescopage !

En effet ça marche nickel et ça va encore plus vite sans passer au logarithme en fait :



L'équivalent du sinus au dénominateur donne directement comme tu l'as dit.

[chan79]

Joli pour le télescopage !

En effet ça marche nickel et ça va encore plus vite sans passer au logarithme en fait :



L'équivalent du sinus au dénominateur donne directement comme tu l'as dit.

Super, j'ai la même limite.
Si =0, la limite est r

[DamX]

Super, j'ai la même limite.
Si =0, la limite est r

Oui, au final la formule est valable tout le temps (prolongation en 0 par continuité). En tout cas c'est marrant de croiser un sinus cardinal dans ce problème !

[deltab]

On peut écrire sous la forme la forme où est une suite à termes positifs. Ne peut-on obtenir quelque chose de

[jonses]

Merci pour vos réponses.

Finalement, en allant en cours le matin, j'ai pensé justement à écrire en polaire les termes de la suite (et j'ai ensuite été bloqué à cause du produit des cosinus).

Mais en fait je suis encore bloqué :

lorsque l'argument de est entre et , le problème a été résolu et sa tend vers


mais lorsque est entre et , là ça se corse (en tout cas pour moi). Il y a des produits de sinus et de cosinus qui apparaissent lorsque que j'essaye déterminer u_n.
Je me suis donc ré-intéressé à la suite des modules et à la suite des arguments.

En ce qui concerne les modules je pense que ça peut aller encore (cf ce que vous avez trouvé/calculé),

mais pour les arguments je veux bien croire que ça tend vers 0 mais de là à le montrer, j'ai un mal fou

[DamX]

Il n'y a rien de spécifique pour ce cas.

Mais de toute façon, si est entre pi/2 et 3pi/2 (ou plutôt dire entre -pi et -pi/2 ou entre pi/2 et pi) alors est entre -pi/2 et pi/2 et tu retombes sur ton cas précédemment étudié.