Etude d'une fonction

[Wanderroom]

Bonjour,

Cela fait plusieurs jours maintenant que je suis bloqué sur l'étude d'une fonction (il faut dresser son tableau de variation, tout ca...), c'est pourquoi je viens demander de l'aide à d'autres yeux.

Il s'agit la fonction f qui a x associe x + (1/ln(x)).

Première chose à faire, déterminer son ensemble de définition et de dérivabilité ( ]0;+infini[ \ {1} en l'occurrence ) puis calculer sa dérivée. Pas de problèmes jusque là. En outre, je trouve :
f' (x) = 1 - 1 / (x (ln(x))²) (1) ; ou encore : f' (x) = [ ln²(x) - (1/x) ] / ln²(x) (2)

C'est maintenant que les problèmes commencent. J'ai trafiqué dans tous les sens les deux expressions ci-dessus pour déterminer leur signe (et donc le signe de la dérivée), mais je n'aboutis jamais.

Par exemple, je suis parti de (2) et j'ai voulu déterminer quand la dérivée s'annule, ce qui équivaut à résoudre [ ln²(x) - (1/x) ]=0 ....
j'ai donc factorisé : [ln(x) - (1/racine(x))]*[ln(x) + (1/racine(x))] = 0 et utilisé le fait qu'un produit est nul ssi un de ses facteurs est nul, ce qui conduit à ln(x) = (1/racine(x)) ou ln(x) = - (1/racine(x))

J'ai alors bataillé de nouveau, écrit racine x comme x^(1/2), passé par l'exponentielle... mais la solution m'échappe. Elle est peut être toute simple, mais j'avoue que je ne la voie pas du tout.

Avez-vous des pistes, s'il vous plaît ?
Merci d'avance! :happy2:

[LA solution]

prenez le numerateur de la fonction deriveé comme une autre fonction par exemple h(x)=..................puis etudier cette fonction
apres fait une deduction de son signe

[Wanderroom]

En suivant ce conseil, je prend h (x) = (ln x)² - 1/x

Je dérive : h'(x) = 2 1/x ln x + 1/x² = (2 x lnx + 1)/x²

On cherche alors quand h' s'annule : h'(x) = 0 <=> 2 x lnx + 1 = 0 <=> x ln x = - (1/2).......
et revoilà le même problème que ci-dessus, une équation que je ne sais pas résoudre

Que faire à présent ?

[Losange]

puis calculer sa dérivée. Pas de problèmes jusque là. En outre, je trouve :
f' (x) = 1 - 1 / (x (ln(x))²) (1)

Erreur de signe, c'est
Et du coup le signe de la dérivée est plus facile à calculer.

[deltab]

Bonjour.

@Wanderroom.

Ne crois pas qu'on sait résoudre toutes les équations de la forme g(x)=0 au sens trouver la valeur ou les valeurs de x pour lesquelles g(x)=0. On peut montrer dans des cas particuliers qu'une équation de cette forme admet des solutions et les localiser mais sans pouvoir trouver leur valeur (en utilisant le TVI par exemple)
Dans le cas traité ici, le numérateur s'annule en point sans pour autant trouver sa valeur,, le TVI donne alors il existe x_0 \in ]2;2,1[ tel que h(x_0)=0 (on pourra chercher une meilleure valeur approchée par dichotomie par exemple).
PS: j'avais au début calculé et , , après j'ai affiné un peu plus l'encadrement de .