Etude de suites

[Tetdoss]

Salut tous, après de longues recherches, je n'ai aucune idée de par où commencer, je fais donc appel à vous.

(Un) suite décroissante réelle telle que Sn = somme de k=0 jusqu'à n de Uk converge vers S.

Vn = n(Un - U(n+1)) Prouver que la somme de k=0 jusqu'à n de Vk converge lorsque n tend vers + l'infini

Une piste est la bienvenue.

Merci d'avance !

PS : j'ai réussi à montrer que la suite est croissante mais il me manque la borne pour montrer qu'elle est convergente

[fatal_error]

slt,

grossomodo

faut looker du côté des termes qui se simplifient je pense

[Tetdoss]

Merci beaucoup pour ta réponse, j'obtiens :

Wn = (n+2)U(n+1) + Sn - U(0)

Néanmoins, je ne vois en quoi Wn est majorée :/

Je continue les recherches, si tu as d'autres idées, n'hésite pas :)

[DamX]

Il ne manque pas d'hypothèses ?

Parce que là en l'état on peut trouver des contre-exemples à cette assertion :

U0 = 1, Un = 0, n>=1.

C'est une suite décroissante réelle. Sa somme converge vers 1.

Quand à Vk, il vaut 0 tout le temps des que k>=1, et sa somme converge aussi..

[DamX]

Merci beaucoup pour ta réponse, j'obtiens :

Wn = (n+2)U(n+1) + Sn - U(0)

Néanmoins, je ne vois en quoi Wn est majorée :/

Je continue les recherches, si tu as d'autres idées, n'hésite pas

Tu as fini quand tu as écris ça ! (n+2)U(n+1) tend vers 0 Parce que sinon Sn tendrait vers +infini (car la série des 1/n diverge).. Et du coup tu as ta convergence.

[Tetdoss]

Tu as fini quand tu as écris ça ! (n+2)U(n+1) tend vers 0 Parce que sinon Sn tendrait vers +infini (car la série des 1/n diverge).. Et du coup tu as ta convergence.

Merci pour ta réponse! Je n'ai pas tout compris à ta démonstration mais tu m'as mis sur la bonne voie, j'ai écrit :

Wn = (n+2)U(n+1) + Sn - U(0)

(Wn) croissante
et (Un) décroissante => (n+2)U(n+1) converge

Sn converge => Wn converge quand n tend vers +oo

Merci de me reprendre si j'ai dit quelque chose de faux ^^

Je passe à la deuxième question (il y en a 3) :
Prouver lim nUn = 0

Indice : penser à encadrer S2n - Sn

[Tetdoss]

Re salut :) J'ai refait mes calculs et j'ai prouvé proprement avec une récurrence que Wn est croissante, il me manque donc à prouver qu'elle est majorée.
Pourtant j'ai cru avoir réussi mais en refaisant mes calculs je tombe sur :
Wn = Sn - (nU(n+1) + U0)
Donc la démarche de DamX ne fonctionne plus pour prouver que Wn est majorée à cause du signe - ...

Par contre c'est très bon signe pour la question 2 car j'ai dans l'expression nU(n+1)

Voilà merci encore pour votre aide

[DamX]

Re salut J'ai refait mes calculs et j'ai prouvé proprement avec une récurrence que Wn est croissante, il me manque donc à prouver qu'elle est majorée.
Pourtant j'ai cru avoir réussi mais en refaisant mes calculs je tombe sur :
Wn = Sn - (nU(n+1) + U0)
Donc la démarche de DamX ne fonctionne plus pour prouver que Wn est majorée à cause du signe - ...

Par contre c'est très bon signe pour la question 2 car j'ai dans l'expression nU(n+1)

Voilà merci encore pour votre aide

Je ne me servais pas de majoration danscxe que je disais, mon argument reste valable, je détaille un peu mieux :

J'affirme en fait que nU(n+1) tend vers 0.
Cela pour les raisons suivantes. Un est une suite positive décroissante.
Si par l'absurde tu supposes que n.Un ne tend pas vers 0, il existe e>0 tq pour tout N, il existe n>N tq Un>e. (négation de Un->0). donc en fait tu as une infinité de termes de ta suite qui sont supérieurs à e. Et donc la somme des Un tend nécessairement vers +infini, ce qui est en contradiction avec l'enoncé.
On a donc n.Un->0. Et par suite n.U(n+1)->0.

Du coup dans ton expression Wn = Sn - (nU(n+1) + U0), tout converge. Et Wn -> S - U0.

Pas besoin d'essayer de la majorer et d'étudier sa croissance.

Par ailleurs si tu as montré la croissance de Wn, la majoration est directe car Sn = 0 donc Wn <= S - U0

Damien

[Tetdoss]

Merci encore de ta réponse Damien,

j'ai bien compris tout ce que tu m'as dit sauf la fin ^^
Tu dis que la majoration est directe car Sn = 0
D'où tu sorts ces inégalités ? Si Un était > 0 alors ça serait vrai mais là on ne le sait pas.

L'énoncé c'est : (Un)N suite décroissante réelle telle que etc...
(le N au dessus est le N représentant l'ensemble des entiers naturels)

Tu dis

Cela pour les raisons suivantes. Un est une suite positive décroissante.

Mais comment tu sais qu'elle est positive ?

[Tetdoss]

J'ai bien relu ta méthode Dam et je trouve des choses pas claires.

donc en fait tu as une infinité de termes de ta suite qui sont supérieurs à e. Et donc la somme des Un tend nécessairement vers +infin

Ce n'est pas nécessairement vrai ce que tu dis puisque ca peut tendre vers une limite si on additionne des termes de plus en plus petits...

On a donc n.Un->0

Hum dans ce cas on a une indétermination non ?
n tend vers +oo et Un aussi :/

[DamX]

J'ai bien relu ta méthode Dam et je trouve des choses pas claires.

Ce n'est pas nécessairement vrai ce que tu dis puisque ca peut tendre vers une limite si on additionne des termes de plus en plus petits...

Hum dans ce cas on a une indétermination non ?
n tend vers +oo et Un aussi :/

Bonsoir,

1) pour la positivité de (Un). Si elle est décroissante et que sa série converge, (Un) est forcément positive. C'est assez intuitif si tu fais un dessin, mais voici une démo propre.

Démonstration :
Par l'absurde on suppose que (Un) n'est pas positive, ie

or comme e<0, lorsque
et donc lorsque
Ce qui est en contradiction avec (Sn) converge.

[Tetdoss]

Merci, c'est parfait !!

Il me manque juste à savoir pourquoi nUn tend vers 0 en sachant que dans ta méthode je crois qu'il y a une Forme Indéterminée

[Tetdoss]

J'ai fait comme ça mais j'en suis pas sûr :

lim Un = 0+
lim nUn = 0+ ou +oo (à cause de la FI)
or Wn converge => Sn - nUn+1 - U0 converge => nUn+1 converge => nUn converge => lim nUn = 0

Je sais pas si c'est très rigoureux mais bon j'ai trouvé que ça ^^

[DamX]

J'ai fait comme ça mais j'en suis pas sûr :

lim Un = 0+
lim nUn = 0+ ou +oo (à cause de la FI)
or Wn converge => Sn - nUn+1 - U0 converge => nUn+1 converge => nUn converge => lim nUn = 0

Je sais pas si c'est très rigoureux mais bon j'ai trouvé que ça ^^

Hum alors non en effet ce n'est pas rigoureux, Ca pourrait tendre vers rien du tout en fait.
Et en y réfléchissant j'ai peut être été un peu vite en affirmant ça. Lintuition derrière était que si nUn ne tend pas vers 0, il serait "comparable" au moins à du 1/n dont la série diverge, mais dans les faits ça n'a pas l'air évident à montrer proprement. Ou alors j'ai loupé un truc.