Etude de suite factorielle

[Incog87]

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice qui me paraissait somme toute assez simple. Si vous avez le temps d'y jeter un coup d'oeil je vous en serai reconnaissant.

J'ai la suite Un = (n!)^2/((2n+1)!)

Et je dois prouver que 0《Un《1/(n+1) pour ensuite determiner qu'elle converge et sa limite avec le th. de comparaison mais je n'y arrive pas.

J'ai déjà démontré que la suite était decroissante pour tout n, et que U(n+1) / Un = (n+1)/(4n+6)

J'ai essayé une récurrence, j'ai essayé de partir de 0《n《n+1 jusqu'à cerner Un puis regarder la difference avec 1/n+1 mais rien n'y fait.

J'ai vraiment cherché dans tous les sens, j'ai l'impression que la réponse est simple mais j'arrive pas à la voir. Auriez-vous un indice qui pourrait me mettre sur la voie ?
Merci beaucoup pour vos réponses.

[Mimosa]

Bonjour

Ton énoncé est faux! Regarde déjà pour n=3.

[Incog87]

Ah mince en effet merci, Un = ((n!)^2)/((2n+1)!)

[Mimosa]

Je ne vois pas ce que tu as changé!

et la fraction de la fin tend vers 1/4, donc quelque chose cloche encore!

[Mimosa]

[Incog87]

J'avais oublié la factorielle à (2n+1)
De quelle fraction parlez-vous ?
Quand à l'équation que vous avez écrite, je l'ai trouvé dans les questions précédentes, dois-je m'en servir ?

[Incog87]

Ah vous parlez de la fraction Un+1/Un, oui en effet sa limite est de 1/4 mais sa valeur est juste à 100%, dans les questions précédentes je dois montrer que Un+1/Un =(n+1)/an+b avec a et b constantes, d'où le (n+1)/4n+6 qui tend vers 1/4

[Mimosa]

Tant que je n'aurais pas un sujet complet je ne vois pas comment je pourrais te répondre!

[Incog87]

Vous avez raison, le voici :

Soit (Un)n la suite définie par : Pour tout n appartenant à N, Un = (n!)²/((2n+1)!)

1. Calculer U0, U1, U2 et U3

U0 = 1
U1 = 1/6
U2 = 1/30
U3 = 1/140

2. Montrer que U(n+1)/Un = (n+1)/(an+b) avec a et b des constantes entières à préciser

U(n+1)/Un = (n+1)/(4n+6)

3. Montrer que la suite (Un)n est monotone

(Un)n est strictement décroissante ( car U(n+1)-Un est inférieur à 0 pour tout N -> raisonnement avec U(n+1)/Un )

4. Montrer que pour tout n appartenant à N 0 inférieur ou égal à Un inférieur ou égal à 1/(n+1)
En déduire que (Un)n converge et déterminer sa limite

C'est là que je sèche, je n'arrive pas à montrer la première inéquation (il suffira ensuite d'appliquer le th. de comparaison pour démontrer qu'elle converge et que sa limite est 0).

Merci beaucoup

[Mimosa]

En effet… Si on suppose , on a

et on vérifie facilement que cette dernière fraction est inférieure à

[Incog87]

C'était donc bien la récurrence, je n'avais pas pris le bon axe pour résoudre cette dernière; je m'en veux d'avoir fait appel à vous pour une erreur aussi stupide, merci beaucoup pour votre patience.

[Mimosa]

J'y ai mis du temps parce que je ne voyais pas ta difficulté. Ca arrive…

[Ben314]

Salut,
On peut aussi directement (et facilement) majorer en utilisant uniquement la définition d'une factorielle :

Et tout les termes apparaissant dans ce produit sont <1 donc est plus petit que n'importe quel terme apparaissant dans le produit.