Etude de raccords équa diff 1er ordre

[Gurvan44]

Bonjour à tous,

J'ai un peu de mal avec équations diff 1ere ordre lorsqu'il s'agit d'étudier les raccords de continuité en certains points.

https://drive.google.com/open?id=1rA1mD ... xbbPKmq7eu


J'ai rédigé la question c) e) et j), la j) est la plus intéressante (complète). Je ne suis absolument pas sûr de mes résultats et de mon raisonnement, d'étude sur les raccords... il manque l'étude de la dérivabilité de y en ces points si j'ai bien compris.
Et j'ai aussi de gros doute sur ma méthode séparation des cas quand une val absolue se présente, est-ce juste ? y a-t-il plus efficace ?
Si quelqu'un pense pouvoir m'éclairer là dessus avec un petit exemple clair peut-être, ou bien une recommandation d'un cours, une vidéo je ne sais pas.

Merci aux courageux par avance !

[aviateur]

Bonjour
On voit pas très bien tes calculs mais il me semble que pour le e) tu ne trouve pas la solution : ?

[Gurvan44]

ouh là oui désolé j'ai mis à jour les photos et plus clairement, pour la e), ducoup elle est plus simple,
J'ai donc rédigé la j) elle plus intéressante.

[aviateur]

Je suis en train de regarder ta réponse j) première partie.
Je ne comprends pas pour x<0 pourquoi tu as un moins devant la barre de fraction.
De toute façon que x soit >0 ou <0 l'expression doit être la même sauf a priori la cste.

[Ben314]

Salut,
En regardant ton truc en diagonale, en bas de la première page de la solution du J), je comprend pas d'où peut sortir ton signe - dans le "Si x<0 alors y(x) = - (. . .)/x".
La fonction x->1/x, c'est bien évidement une des solutions de (E) à la fois sur ]0,+oo[ et sur ]-oo,0[ (vu que quand tu ne fait que vérifier en injectant y(x)=1/x dans (E), ben, ça ne fait aucune différence que x>0 ou bien x<0)

Sur la page 2, je comprend pas non plus d'où sort le "Attention, et on a bien y=0 satisfait (E)". Si ton "y=0", ça désigne la fonction nulle (i.e. telle que y(x)=0 pour tout x), alors, on ne peut plus clairement, ce n'est pas une solution de (E).

[aviateur]

Cela risque de changer ta deuxième partie.
Maintenant concernant la résolution sur R. Et bien une solution est dérivable. Donc si on a deux morceaux qui se raccordent continument il faut se poser la question de la dérivabilité en x=0. Mieux que ça même si ce n'est pas demandé on peut se poser la question de la régularité exacte en x=0.

pas vu le message de @ben mais c'est un peu différent dc j'envoie

[Black Jack]

Salut,

Méthode un peu différente... et que d'aucuns diront identique. A toi de voir.

x(x²+1).y' + y + x = 0

Poser u.v = y
x(x²+1).(uv'+u'v) + uv + x = 0
v.[x(x²+1).u'+u] + x(x²+1).uv' + x = 0

Cherchons une expression de u telle que : x(x²+1).u'+u = 0
u/u = - 1/(x(x²+1))
--> u = V(x²+1)/x (si x est diff de 0)

L'équation devient alors : x(x²+1).* V(x²+1)/x * v' + x = 0
(x²+1).* V(x²+1) * v' + x = 0
v' = -x/(x²+1)^(3/2) --> v = 1/V(x²+1) + K

y = u*v
y = V(x²+1)/x * (1/V(x²+1) + K)

y = 1/x + K.V(x²+1)/x
***
Si x = 0, l'équation initiale devient y = 0

Il faut donc voir si une valeur de K est telle que lim(x-->0) [1/x + K.V(x²+1)/x] = 0

C'est directement K = -1.

Et donc la solution sur R de l'équation x(x²+1).y' + y + x = 0 est :

y = 1/x - V(x²+1)/x pour x diff de 0
y = 0 pour x = 0

... qui est identique à ta solution. (Il reste à vérifier que c'est dérivable en 0 ...)

[aviateur]

@gurvan Je pense qu'il ne faut pas changer ta façon de procéder. L'essentiel est de repartir de tes calculs et de voir ton erreur.
Ensuite pour le raccord éventuel évidemment il faudra reprendre tes calculs et le faire par toi même, alors en cas de problème on te guidera.

[Gurvan44]

black jack merci beaucoup de ta réponse mais,désolé je ne veux pas paraître ingrat, je me permet quand même, je ne comprend pas pourquoi rédiger un truc aussi long par écrit alors que serait plus facile à écrire pour toi et à lire pour moi sur papier avec photo ?


aviateur et ben

mon "-" qui apparaît pour x<0 vient du raisonnement suivant : je repars de la méthode Variation de la constante mais cette fois y(x) qui vaut "constante*sqrt(x^2+1)/[val abs(x)] " peut être écrite :
"constante*sqrt(x^2+1)/[-x]" puisque x<0. Les calculs mènent trivialement à l'apparition du signe moins sur ma solution particulière pour x<0.
Je sens bien que quelque chose ne vas pas en effet mais je met difficilement le doigt dessus...


Ben
pour y = 0 satisfait (E)
Je raisonne ainsi :
La limite de y, pour x>0 et x<0 est 0; donc si je veux un raccord il faut que y=0 et je vérifie que la fonction y=0 en x=0 satisfait (E)

j'ai ajouté un ex corrigé détaillé du livre que j'utilise sur drive, je m'en suis inspiré, tu peux voir qu'à l'avant dernière ligne ils ajoutent "f vérifie E en 0" je ne dis pas que tu as tort évidemment juste que tu ne parles sans doute pas de la même chose.



J'essaie de rédiger correctement la dérivabilité (d'ici seulement demain a priori) pour j) et je vais essayer de faire k)

[Ben314]

Concernant le "-" dans le cas x<0, ben si tu y tient vraiment, tu n'a qu'à tout bien récrire comme il faut concernant ta méthode de variation de la constante dans ce cas là (i.e. x<0) pour constater que... tu n'a pas de "-" dans le résultat final (ce qui personnellement me semble d'une évidence confondante...)

pour y = 0 satisfait (E)
Je raisonne ainsi :
La limite de y, pour x>0 et x<0 est 0; donc si je veux un raccord il faut que y=0 et je vérifie que la fonction y=0 en x=0 satisfait (E)

Ben si tu écrit ce type de trucs, c'est pas étonnant qu'on comprenne pas (1) : Ici, y, ça désigne une fonction (comme tu l'a d'ailleurs écrit : en bleu) et si tu écrit "la fonction y=0", ça, il n'y a absolument aucune ambiguïté concernant quel est "l'objet" dont tu parle : c'est bien la fonction qui, à tout réel x, associe le réel 0 (i.e. la "fonction nulle"). Ensuite, certes, cette "fonction nulle" vérifie l'équation (E) en x=0, sauf que c'est le seule point où elle vérifie (E) donc (et je le répète), la "fonction y=0" n'est absolument pas solution de l'équation différentielle (E).
Certes, en "lisant entre les lignes" (2), je comprend ce que tu aurais voulu dire : c'est que, pour qu'une fonction y dérivable sur R vérifie l'équation (E) en x=0, il faut (et il suffit) qu'on ait y(0)=0. Sauf que c'est absolument pas ça que tu as écrit.

(1) Et ça ne m'étonnerais que "moyennement" que le correcteur apprécie un tel "mélange"....
(2) Et, de nouveau, la question peut se poser de savoir si un correcteur va "lire entre les lignes"... ou pas...

[Black Jack]

black jack merci beaucoup de ta réponse mais,désolé je ne veux pas paraître ingrat, je me permet quand même, je ne comprend pas pourquoi rédiger un truc aussi long par écrit alors que serait plus facile à écrire pour toi et à lire pour moi sur papier avec photo ?

Pas de problème pour moi.
Néanmoins, il faut se rappeler que la réponse sur "papier scanné" empêche toutes recherches par un moteur de recherche et que donc il est impossible de rechercher dans le site si le problème q u'on se pose n'a pas été traité dans le passé.

Cette manière de faire "question ou réponse scannée" est pour cela (et pour d'autres raisons) interdite dans une grande majorité de sites semblables à celui-ci... et pas sans raison.

[Gurvan44]

Ben
oh, je n'ai en effet pas reproduis les calculs car je me suis dis que le x devenait -x donc juste à remplacer -x à la fin mais ducoup je suis complètement à coté de la plaque...
Je fais confiance quant au résultat mais j'aimerai plus le sentir de la même manière que tu as l'air de le sentir (cf "évidence confondante" ) car je vois bien que ça devrait être évident mais je bloque..

[Gurvan44]

black jack, oui ok je vois, le référencement par le titre du sujet n'est pas toujours suffisant ? mais je trouve ça dommage de se priver d'un peu de clarté...

[Ben314]

Perso. (mais j'ai évidement bien plus de recul que toi), j'aurais directement écrit que la solution de l'équation homogène c'est sans valeur absolue sur le x du dénominateur.
Ca provient du fait que, ce calcul que tu as fait, c'est en se plaçant soit sur l'intervalle ]-oo,0[, soit sur ]0,+oo[ et que, bien sûr, les deux constantes correspondant aux deux intervalle n'ont absolument aucune raison d'être les mêmes.
Or, que tu soit sur l'un ou sur l'autre des intervalle, tu as (la constante étant égal à selon l'intervalle) et cette constante, tu peut parfaitement "l'englober" dans la constante d'intégration .

Bref, écrire ça : ou bien ça : ben c'est parfaitement totalement exactement... la même chose...

Et évidement, dés que comprend que tu peut écrire le truc sans valeur absolue, ben les cas x>0 et x<0 conduisent on ne peut plus naturellement au même résultat (à savoir y(x)=+1/x comme solution particulière sur les deux intervalles)

[Gurvan44]

Ben,

concernant ma rédaction ambigu :
en effet je dois veiller à plus de rigueur là dessus, donc c'est juste dire : la fonction y=0 satisfait bien (E) en x=0 ? juste d'une part, et nécessaire de l'écrire on est d'accord ?

et pour la val abs: ah oui il suffit de regarder dès le début (sol homo) en effet, mais on est d'accord qu'il existe des cas où la val abs ne se fait pas "absorber" par la constante et qu'il faut alors bien séparer comme je l'ai fais ?

[Ben314]

la fonction y=0 satisfait bien (E) en x=0 ? juste d'une part, et nécessaire de l'écrire on est d'accord ?

Oui, il faut écrire quelque chose, mais non, ce n'est pas ça qu'il faut écrire : tant que tu parlera de "la fonction y=0", ça n'ira pas : ce n'est pas la fonction qui est nulle, c'est la valeur de la fonction en x=0, c'est à dire le réel y(0).
Ce que tu doit écrire, c'est :
Si une fonction y vérifie (E) sur R tout entier, alors elle vérifie en particulier (E) en x=0 ce qui signifie qu'on doit avoir y(0)=0 (le réel y(0) doit être égal à 0, mais la fonction y elle, n'est pas la fonction nulle).

. . . mais on est d'accord qu'il existe des cas où la val abs ne se fait pas "absorber" par la constante et qu'il faut alors bien séparer comme je l'ai fais ?

Peut être, mais je suis pas sûr du tout : vu que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0, à priori, dans tout les cas où elle va apparaître dans un tel calcul qui utilise des dérivées (donc dans le contexte des équation différentielles), le(s) point(s) où ce qu'il y a dans la valeur absolue est nul seront exclu du domaine d'étude et donc sur chacun des intervalles d'étude, le truc dans la valeur absolue sera de signe constant et le signe pourra passer dans une "constante d'intégration".

Cherche si tu veut un exemple où elle ne "rentre pas" dans la constante d'intégration, mais je pense que tu va avoir du mal

[Gurvan44]

oui ok c'est bon c'est clair le coup de y :p c'est une même fonction définie différemment selon l'argument tout simplement... eh bien je suis tombé sur la k) (cf drive) qui semble être plus ou moins le cas, bien qu'au final le résultat (en vert, avant les raccords) semble prédictible, mais là encore s'il est prédictible je ne vois pas bien pourquoi.

[aviateur]

Bonjour

A ta question "aurai-je pu être efficace". La réponse est oui. Il faut savoir que faire varier la constante demande un certain travail mais assez souvent, comme c'est le cas, l'équation homogène et le second membre peuvent nous inciter à chercher une solution particulière dans un certain espace qui demandera moins de calcul.
Pour le k) on peut penser à un polynôme et si n est son degré ôn voit tout de suite que n ne peut dépasser 2.
Donc on cherche une solution particulière de la forme y(x)=ax^2+b x+ c et ça c'est un calcul aisé.

Bon pour une solution y a rien à dire. Il n'y a que le polynôme qui convient.

[Gurvan44]

ah oui d'accord y aussi ça, je pensais plus au fait que j'ai séparé en deux cas avec ma val absolue, je me demande à nouveau si ça valait le coup

[aviateur]

ah oui d'accord y aussi ça, je pensais plus au fait que j'ai séparé en deux cas avec ma val absolue, je me demande à nouveau si ça valait le coup

Bonjour c'est une question ? dans ce cas qu'est ce que tu veux dire exactement?